Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Полное Исследование функции реш
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32704
Страница 1 из 1

Автор:  dusha [ 21 апр 2014, 23:50 ]
Заголовок сообщения:  Полное Исследование функции реш

y= [math]\frac{ \sqrt[3]{(x-1)^{2} } }{x^{2} + 1 }[/math]

y= [math]\frac{ x^{2} +2x }{ x-1 }[/math]

y= [math]\mathsf{e} ^{\frac{ 2x }{ 1-x^{2} } }[/math]

Автор:  Andy [ 22 апр 2014, 06:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное Исследование функции реш

dusha, можем начать. Рассмотрим первую функцию. Какова её область определения?

Автор:  Avgust [ 22 апр 2014, 07:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное Исследование функции реш

2. Эта функция интересна наклонной асимптотой. Выразим ее в виде линейной функции

[math]y=kx+b[/math]

[math]k=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x^2+2x}{x(x-1)}= \lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x+2}{x-1}=1[/math]

[math]b=\lim \limits_{x \to \pm \infty} f(x)-kx=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x^2+2x}{x-1}-x=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{3x}{x-1}=3[/math]

Наклонная асимптота есть и ее вид: [math]y=x+3[/math]

Вертикальная асимптота ясна из знаменателя исходника: [math]x=1[/math]

Теперь точки экстремума: [math]y'=\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}=0[/math]

[math]x^2-2x-2=0\, ; \quad x_{1,2}=1\pm \sqrt{3}[/math]

Тогда :

[math]y_{max}=4-2\sqrt{3}\approx 0.539\quad[/math] при [math]x=1-\sqrt{3}\approx -0.732[/math]

[math]y_{min}=4+2\sqrt{3}\approx 7.464\quad[/math] при [math]x=1+\sqrt{3}\approx 2.732[/math]

Вторая производная [math]y''=\frac{6}{(x-1)^3}[/math]

Она не может быть равна нулю, поэтому точек перегиба нет

Изображение

Автор:  Avgust [ 22 апр 2014, 12:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное Исследование функции реш

1. Очень интересная и замысловатая функция. Один корень [math]x=1[/math]
Найдем экстремумы:

[math]y'=-\frac{2x^2-3x-1}{3\sqrt[3]{x-1}(x^2+1)^2}=0[/math]

[math]2x^2-3x-1=0 \, ; \quad x_1=\frac 14 \big (3-\sqrt{17} \big )\approx -0.281 \, ; \quad x_2=\frac 14 \big (3+\sqrt{17} \big )\approx 1.781[/math]

Точки перегиба ищутся по второй производной:

[math]y''=\frac{4(x^2-3x+1)(7x^2-5)}{9\sqrt[3]{(x-1)^4}(x^2+1)^3}=0[/math]

[math](x^2-3x+1)(7x^2-5)=0[/math]

[math]x_1=-\sqrt{\frac 57}\approx -0.845[/math]

[math]x_2=\sqrt{\frac 57}\approx 0.845[/math]

[math]x_3=\frac 12 \big ( 3-\sqrt{5}\big )\approx 0.382[/math]

[math]x_4=\frac 12 \big ( 3+\sqrt{5}\big )\approx 2.618[/math]

Вертикальных асимптот нет, наклонных тоже. Есть только горизонтальная - ось OX. На втором рисунке дан более крупно элемент кривой с двумя точками перегиба:

Изображение

Автор:  Avgust [ 23 апр 2014, 02:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное Исследование функции реш

3. У этой строго положительной функции экстремумов и точек перегиба нет. Есть только две вертикальные и одна горизонтальная асимптоты. Горизонтальная [math]y=1[/math] устанавливается при помощи предела (см. ниже рисунка). Вертикальные - это разрывы. Корней нет - есть только особые точки [math]x=\pm 1[/math]

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 28 апр 2014, 12:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное Исследование функции реш

Avgust писал(а):
3. У этой строго положительной функции экстремумов и точек перегиба нет

Минимум есть - аж в двух точках достигается, они у Вас отмечены на графике :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/