| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Полное Исследование функции реш http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32704 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | dusha [ 21 апр 2014, 23:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Полное Исследование функции реш |
y= [math]\frac{ \sqrt[3]{(x-1)^{2} } }{x^{2} + 1 }[/math] y= [math]\frac{ x^{2} +2x }{ x-1 }[/math] y= [math]\mathsf{e} ^{\frac{ 2x }{ 1-x^{2} } }[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 22 апр 2014, 06:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Полное Исследование функции реш |
dusha, можем начать. Рассмотрим первую функцию. Какова её область определения? |
|
| Автор: | Avgust [ 22 апр 2014, 07:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Полное Исследование функции реш |
2. Эта функция интересна наклонной асимптотой. Выразим ее в виде линейной функции [math]y=kx+b[/math] [math]k=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x^2+2x}{x(x-1)}= \lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x+2}{x-1}=1[/math] [math]b=\lim \limits_{x \to \pm \infty} f(x)-kx=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x^2+2x}{x-1}-x=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{3x}{x-1}=3[/math] Наклонная асимптота есть и ее вид: [math]y=x+3[/math] Вертикальная асимптота ясна из знаменателя исходника: [math]x=1[/math] Теперь точки экстремума: [math]y'=\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}=0[/math] [math]x^2-2x-2=0\, ; \quad x_{1,2}=1\pm \sqrt{3}[/math] Тогда : [math]y_{max}=4-2\sqrt{3}\approx 0.539\quad[/math] при [math]x=1-\sqrt{3}\approx -0.732[/math] [math]y_{min}=4+2\sqrt{3}\approx 7.464\quad[/math] при [math]x=1+\sqrt{3}\approx 2.732[/math] Вторая производная [math]y''=\frac{6}{(x-1)^3}[/math] Она не может быть равна нулю, поэтому точек перегиба нет
|
|
| Автор: | Avgust [ 22 апр 2014, 12:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Полное Исследование функции реш |
1. Очень интересная и замысловатая функция. Один корень [math]x=1[/math] Найдем экстремумы: [math]y'=-\frac{2x^2-3x-1}{3\sqrt[3]{x-1}(x^2+1)^2}=0[/math] [math]2x^2-3x-1=0 \, ; \quad x_1=\frac 14 \big (3-\sqrt{17} \big )\approx -0.281 \, ; \quad x_2=\frac 14 \big (3+\sqrt{17} \big )\approx 1.781[/math] Точки перегиба ищутся по второй производной: [math]y''=\frac{4(x^2-3x+1)(7x^2-5)}{9\sqrt[3]{(x-1)^4}(x^2+1)^3}=0[/math] [math](x^2-3x+1)(7x^2-5)=0[/math] [math]x_1=-\sqrt{\frac 57}\approx -0.845[/math] [math]x_2=\sqrt{\frac 57}\approx 0.845[/math] [math]x_3=\frac 12 \big ( 3-\sqrt{5}\big )\approx 0.382[/math] [math]x_4=\frac 12 \big ( 3+\sqrt{5}\big )\approx 2.618[/math] Вертикальных асимптот нет, наклонных тоже. Есть только горизонтальная - ось OX. На втором рисунке дан более крупно элемент кривой с двумя точками перегиба:
|
|
| Автор: | Avgust [ 23 апр 2014, 02:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Полное Исследование функции реш |
3. У этой строго положительной функции экстремумов и точек перегиба нет. Есть только две вертикальные и одна горизонтальная асимптоты. Горизонтальная [math]y=1[/math] устанавливается при помощи предела (см. ниже рисунка). Вертикальные - это разрывы. Корней нет - есть только особые точки [math]x=\pm 1[/math]
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 28 апр 2014, 12:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Полное Исследование функции реш |
Avgust писал(а): 3. У этой строго положительной функции экстремумов и точек перегиба нет Минимум есть - аж в двух точках достигается, они у Вас отмечены на графике
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|