Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти предел по правилу Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32645
Страница 1 из 2

Автор:  Veinar [ 19 апр 2014, 22:05 ]
Заголовок сообщения:  Найти предел по правилу Лопиталя

Здравствуйте, не могу решить предел:
[math]\lim_{x \to 0}(sin(x^2))^{1-cosx}[/math] преобразуем [math]\epsilon^{\lim_{x \to 0}(1-cosx)(lnsin(x^2))}[/math]
Чтобы не мельчить, буду писать предел отдельно
[math]{\lim_{x \to 0}(1-cosx)(lnsin(x^2))}=\frac{ (1-cosx)' }{ {\frac{ 1 }{ lnsin(x^2)}' } }=\frac{ sinx*ln^2(sin(x^2)) }{ -2x*ctg(x^2) }[/math]
Опять получилась неопределенность, значит надо опять повторить схему, что я и делал, но потом опять получается неопределенность, так как производная от [math]lnsin(x^2)[/math] в знаменателе опять даст синус, что опять приведет к неопределенности, да и потом никак не избавиться от ln.
Как поступить? Не первый день уже сижу.
Вычисления все не писал, а писал сразу же ответы, может быть где-то и я ошибся, но найти ошибку не могу, но вроде бы правильно до последнего момента. Решите, пожалуйста.

Автор:  Wersel [ 19 апр 2014, 22:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

Сначала можно воспользоваться тем, что [math]\sin(x^2) \sim x^2[/math] и [math]1-\cos(x) \sim \frac{x^2}{2}[/math] при [math]x \to 0[/math]. Далее все так же, как делали Вы.

Автор:  radix [ 19 апр 2014, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

Можно воспользоваться первым замечательным пределом, так избавимся от синуса в числителе и икса в знаменателе.
Далее представьте котангенс как отношение косинуса к синусу. И нет неопределённости: в числителе ноль, в знаменателе -2.

Автор:  Wersel [ 19 апр 2014, 23:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

radix
А логарифм куда денется?

Автор:  radix [ 19 апр 2014, 23:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

Да, Вы правы. Тогда, может быть, так:
[math]=-\frac{ 1 }{ 2 } \lim_{x \to 0}\frac{ \left( \ln^2{(\sin{x^2} )} \right)' }{ \left( \operatorname{ctg}{x^2} \right) ' } =...[/math]
то есть ещё два раза применяем правило Лопиталя, и неопределённость исчезнет. И логарифм тоже. :)

Автор:  Veinar [ 20 апр 2014, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

radix писал(а):
Да, Вы правы. Тогда, может быть, так:
[math]=-\frac{ 1 }{ 2 } \lim_{x \to 0}\frac{ \left( \ln^2{(\sin{x^2} )} \right)' }{ \left( \operatorname{ctg}{x^2} \right) ' } =...[/math]
то есть ещё два раза применяем правило Лопиталя, и неопределённость исчезнет. И логарифм тоже. :)

Вы вынесли [math]-1/2[/math], а [math]sinx[/math] в числителе и [math]x[/math] в знаменателе преобразовали по первому замечательному? Это не повлияет на ответ?

Автор:  radix [ 20 апр 2014, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

Не должно. :)
По свойству предела
[math]\lim_{x \to x_0}f(x)g(x)=\lim_{x \to x_0}f(x)\lim_{x \to x_0}g(x)[/math]
Именно это свойство позволяет нам вынести постоянный множитель за знак предела. Выражение, находящееся под знаком предела, представляем в виде произведения (один из множителей представляет собой первый замечательный) и заменяем на произведение пределов.

Автор:  Veinar [ 20 апр 2014, 16:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

radix писал(а):
Да, Вы правы. Тогда, может быть, так:
[math]=-\frac{ 1 }{ 2 } \lim_{x \to 0}\frac{ \left( \ln^2{(\sin{x^2} )} \right)' }{ \left( \operatorname{ctg}{x^2} \right) ' } =...[/math]

[math]=-\frac{ 1 }{ 2 } \lim_{x \to 0}\frac{ \left( \ln^2{(\sin{x^2} )} \right)' }{ \left( \operatorname{ctg}{x^2} \right) ' } =-\frac{ 1 }{ 2 }*(-2)\lim_{x \to 0}\operatorname{ctg}{x^2}*ln\sin{x^2}*\sin^2{x}=\lim_{x \to 0}\frac{ ln\sin{x^2} }{ \frac{ 1 }{ \operatorname{ctg}{x^2} * \sin^2{x} } }[/math] и если брать сейчас производные, то дальше будет ещё сложнее, от логарифма-то избавиться можно, но дальше никак не получается

Автор:  Wersel [ 20 апр 2014, 16:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

Зачем Вам это все? Я изначально предложил элементарный вариант.

Умножение обозначается как
\cdot

Чтобы функции отличались от остальных символов, перед ними нужно ставить
\

Например
\sin(x)
\cos(x)
\ln(x)

Автор:  radix [ 20 апр 2014, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел по правилу Лопиталя

Если возможно применение ЭБМ, то да.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/