Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Анализ функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32297
Страница 1 из 1

Автор:  duren [ 07 апр 2014, 23:12 ]
Заголовок сообщения:  Анализ функции

Подскажите, пожалуйста, верно ли следующее утверждение:

Пусть f(x) - положительная и дважды дифференцированная на всей числовой прямой. Из этого следует, что ее вторая производная не может быть отрицательной на всей числовой прямой.

Или же обратное, если мы имеем выпуклую вниз функцию, то она не может быть положительной на всей числовой прямой.

Спасибо.

Автор:  dr Watson [ 08 апр 2014, 09:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Анализ функции

Утверждение неверно. Возьмите [math]f(x)=2+\sin x[/math]
Утверждение, которое Вы назвали обратным, не является таковым и тоже неверно - возьмите [math]f(x)=2+x^2[/math].

Автор:  Andy [ 08 апр 2014, 09:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Анализ функции

duren
duren писал(а):
Подскажите, пожалуйста, верно ли следующее утверждение:

Пусть f(x) - положительная и дважды дифференцированная на всей числовой прямой. Из этого следует, что ее вторая производная не может быть отрицательной на всей числовой прямой.

Или же обратное, если мы имеем выпуклую вниз функцию, то она не может быть положительной на всей числовой прямой.


Второе утверждение сразу опровергается примером: функция [math]f(x)=e^x[/math] имеет вторую производную [math]f''(x)=(f'(x))'=((e^x)')'=(e^x)'=e^x,[/math] которая всюду положительна и имеет всюду положительную вторую производную, т. е. выпукла вниз... :)

Автор:  Andy [ 08 апр 2014, 09:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Анализ функции

dr Watson
dr Watson писал(а):
Утверждение неверно. Возьмите [math]f(x)=2+\sin x[/math]

Разве вторая производная этой функции отрицательна на всей числовой оси?

Автор:  dr Watson [ 08 апр 2014, 16:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Анализ функции

А разве должна быть?
Стоп - неверно прочитал условие.

Ну, тогда утверждение верно. Пусть вторая производная всюду отрицательна [math]\Rightarrow[/math] первая убывает.
Берём произвольную точку и проводим касательную. График лежит ниже касательной [math]\Rightarrow[/math] ...

Замечание относительно "обратного утверждения" сохраняет силу.

Автор:  duren [ 08 апр 2014, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Анализ функции

Прошу прощения, в обратном утверждении я хотел написать выпуклая ВВЕРХ.

Спасибо за ответ, разобрался.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/