Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел при x=1
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32290
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 07 апр 2014, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Предел при x=1

Добрый день!

Я постараюсь корректно сформулировать вопрос и прошу немного терпения, если опять что-то будет неверно с математической точки зрения сформулировано.

Читаю про предел (lim). Объясниение начинается с такого примера [math]\frac{ x^{2}-1 }{ x-1 }[/math] и далее утверждается, что при x=1 значение выражение не определяемо, поскольку мы не знаем значение [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math]. Но если мы будем постепенно подбирать значения x, начиная, например, с 0.5 и доходя до 0.99999, то увидим, что значение выражения приближается к 2м.

Не понимаю! Очевидно, здесь какая-то умная мысль, которую я пока не понимаю. Ведь если мы элементарно разложим числитель на множители, то при Х=1 значение выражения получается равно 2. Но! Если мы не будет разлагать на множители, то значение выражения будет как раз 0/0.

Пожалуйста, объясните, что это :)

Автор:  radix [ 07 апр 2014, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел при x=1

Даже если разложить на множители, значение функции будет не определено. Ведь ноль из знаменателя никуда не делся. Сократить дробь на (х-1) просто так нельзя: это выражение содержит переменную, а значит, теоретически, может принимать нулевое значение, а делить на ноль нельзя. Поэтому сначала делаем оговорку, что область определения функции - это вся числовая прямая, кроме х=1. На этой области определения выражение (х-1) в ноль не обращается, значит, мы можем разделить и числитель и знаменатель на (х-1). После этого действия функция примет вид х+1. Но про область определения забывать нельзя! Графиком данной функции, таким образом, будет прямая у=х+1 с выколотой точкой (1,2)
При нахождении предела при х, стремящемся к какому-то числу а, всегда рассматривают проколотую окрестность точки х=а. Это значит, что х принимает значения, сколь угодно близкие к а, но не принимает значение равное а.
Таким образом, при нахождении предела при х, стремящемся к 1, рассматриваются все значения около 1, кроме самой 1. А значит можно смело сокращать дробь на (х-1). После сокращения подставляем значение 1 в полученное выражение и получаем значение предела в точке х=а. Это же значение предела в данной точке подтверждается графиком этой функции.

Автор:  afraumar [ 07 апр 2014, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел при x=1

radix писал(а):
Даже если разложить на множители, значение функции будет не определено. Ведь ноль из знаменателя никуда не делся. Сократить дробь на (х-1) просто так нельзя: это выражение содержит переменную, а значит, теоретически, может принимать нулевое значение, а делить на ноль нельзя. Поэтому сначала делаем оговорку, что область определения функции - это вся числовая прямая, кроме х=1. На этой области определения выражение (х-1) в ноль не обращается, значит, мы можем разделить и числитель и знаменатель на (х-1). После этого действия функция примет вид х+1. Но про область определения забывать нельзя! Графиком данной функции, таким образом, будет прямая у=х+1 с выколотой точкой (1,2)
При нахождении предела при х, стремящемся к какому-то числу а, всегда рассматривают проколотую окрестность точки х=а. Это значит, что х принимает значения, сколь угодно близкие к а, но не принимает значение равное а.
Таким образом, при нахождении предела при х, стремящемся к 1, рассматриваются все значения около 1, кроме самой 1. А значит можно смело сокращать дробь на (х-1). После сокращения подставляем значение 1 в полученное выражение и получаем значение предела в точке х=а. Это же значение предела в данной точке подтверждается графиком этой функции.


Большое Вам спасибо!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/