Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32242
Страница 1 из 1

Автор:  lllulll [ 06 апр 2014, 08:02 ]
Заголовок сообщения:  Решить предел

Помогите пожалуйста, нужно решить предел Изображение

Автор:  Yurik [ 06 апр 2014, 09:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - {{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}{{x + \ln \left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{x + \ln \left( {x + 1} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}{{x + \ln \left( {x + 1} \right)}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x}}{{1 + \frac{1}{{x + 1}}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}}}{{1 + \frac{1}{{x + 1}}}} = \infty - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \infty \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Andy [ 06 апр 2014, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

lllulll, по-моему, можно поступить так:
[math]\lim\limits_{x\to\infty} (x-\ln(x+1))=[\infty-\infty]=\lim\limits_{x\to\infty} (\ln{e^x}-\ln(x+1))=\lim\limits_{x\to\infty} \ln\bigg(\frac{e^x}{x+1}\bigg)=[/math]

[math]=\ln\lim\limits_{x\to\infty} \frac{e^x}{x+1}=\ln\bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]=\ln\lim\limits_{x\to\infty} \frac{(e^x)'}{(x+1)'}=\ln\lim\limits_{x\to\infty} e^x=\ln\infty=\infty.[/math]

Автор:  Avgust [ 06 апр 2014, 15:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

Интересно, а так в одно действие можно (?):

[math]\lim \limits_{x\to \infty} \left ( x-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-...\right )=\lim \limits_{x\to \infty} \frac{x^2}{2}=\infty[/math]

Автор:  Wersel [ 06 апр 2014, 15:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

Avgust
Это разложение для логарифма справедливо в окрестности нуля, если я не ошибаюсь.

Автор:  Avgust [ 06 апр 2014, 15:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

Ах, да! Я сначала правильно решал, потом что-то заклинило. Надо так - делаем замену [math]t=\frac 1x[/math] и тогда

[math]\lim \limits_{t \to 0}\left (\frac 1t-\frac 1t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{3t^3}+... \right )=\infty[/math]

Автор:  Wersel [ 06 апр 2014, 15:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

В таком варианте неопределенность [math]\infty - \infty[/math].

Автор:  Avgust [ 06 апр 2014, 15:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел

Это и Вольф показывает http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 2Ct%3D0%29

А первый мой пост надо было так:

[math]\lim \limits_{x \to \infty}\left [x+\ln \left ( \frac 1x \right )-\frac 1x+\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{3x^3}-... \right ]=\infty[/math]

Тут уж без неопределенностей.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/