| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Отображение интервала на интервал http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32215 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Enosha [ 05 апр 2014, 13:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Отображение интервала на интервал |
Добрый день! Проверьте, пожалуйста, мой контрпример для задачи: Пусть функция [math]f(x)[/math] отображает всякий интервал на интервал. Верно ли, что она непрерывна? Я беру контрпример: [math]f(x)=\sin(\frac{1}{x})[/math]. Она действительно отображает всякий интервал в интервал и прерывна в нуле. Верный ли мой пример, заранее спасибо! |
|
| Автор: | Prokop [ 05 апр 2014, 18:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Что понимается под термином "интервал'? В Вашем примере интервал [math]\left({\frac{1}{{3\pi}},\frac{1}{{2\pi}}}\right)[/math] отображается на [math](0,1][/math]. |
|
| Автор: | Enosha [ 05 апр 2014, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Prokop Интервал - круглые скобочки:) Да, понял ошибку. Кажется, нужна монотонная функция |
|
| Автор: | Prokop [ 05 апр 2014, 18:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Если функция строго монотонна, то у неё есть обратная, которая будет непрерывна в силу условия задачи. Следовательно и прямая функция будет непрерывна на множестве своего определения. |
|
| Автор: | Enosha [ 05 апр 2014, 20:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Prokop Не понял про монотонность Не могли бы вы показать на простом примере: какой интервал будет переходить в полуинтервал (отрезок), например для [math]f(x)=\begin{cases}x &, x< 0 \\ x+1 &, x\geq 0 \end{cases}[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 05 апр 2014, 20:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
В Вашем примере интервал [math](-1,1)[/math] отображается на [math]\left({- 1,0}\right)\bigcup{[1,2)}[/math]. |
|
| Автор: | Enosha [ 06 апр 2014, 00:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Prokop Так, ну с разрывом первого рода все понятно. Если считать, что [math](-1;\infty)\bigcup (-\infty;1)[/math] не интервал, то рассуждения такие: Предположим обратное: пусть существует такая функция, которая отображает любой интервал в интервал и эта функция прерывна. Берем точку разрыва (она есть, по предположению) и окрестность около этой точки. Если разрыв первого рода, то один из интервалов окажется полуинтервалом(как было сказано выше), что неверно. Если разрыв второго рода, то получаем что-то вроде [math](-1;-\infty)\bigcup (\infty;1)[/math] , что тоже не является интервалом. Значит, если у функции есть разрыв, то она не отображает всякий интервал в интервал, отсюда - функция непрерывна. Верны ли мои рассуждения? |
|
| Автор: | Enosha [ 06 апр 2014, 13:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
А, я не разобрал случай разрыва первого рода, устранимого. Там тоже берется достаточно малая окрестность точки разрыва и получается интервал плюс точка, а это уже не интервал. Но вот если сделать устранимый разрыв, а чтобы в самой точке функция была не определена, то не будет ли это контрпримером?[math]f(x)=\begin{cases}x^2 &, x\neq 0 \\ \frac{1}{x}& x=0 \end{cases}[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 06 апр 2014, 19:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Хотелось бы уточнить условие задачи. Где определена функция? (Везде или нет?) Где она непрерывна? (В области своего определения?) Например, [math]y = \frac{1}{x}[/math]. На бесконечности положим её значение равным 0. При этом считаем что множества вида [math]\left({- \infty , - a}\right)\bigcup{\left({b,\infty}\right)}[/math], [math]a, b>0[/math], окрестностью (интервалом) точки бесконечность. |
|
| Автор: | Enosha [ 06 апр 2014, 19:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Отображение интервала на интервал |
Prokop писал(а): Хотелось бы уточнить условие задачи. Где определена функция? (Везде или нет?) Где она непрерывна? (В области своего определения?) Например, [math]y = \frac{1}{x}[/math]. На бесконечности положим её значение равным 0. При этом считаем что множества вида [math]\left({- \infty , - a}\right)\bigcup{\left({b,\infty}\right)}[/math], [math]a, b>0[/math], окрестностью (интервалом) точки бесконечность. А, кстати да... Вполне возможно, что имеется в виду непрерывность на ОДЗ. Но тогда получается, что разрыв второго рода вообще можно не рассматривать, ведь тогда функция просто - напросто не определена в точке разрыва и на ОДЗ непрерывна. В таком случае, кажется, такой функции существовать не будет |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|