Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Отображение интервала на интервал
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32215
Страница 1 из 2

Автор:  Enosha [ 05 апр 2014, 13:11 ]
Заголовок сообщения:  Отображение интервала на интервал

Добрый день! Проверьте, пожалуйста, мой контрпример для задачи: Пусть функция [math]f(x)[/math] отображает всякий интервал на интервал. Верно ли, что она непрерывна?
Я беру контрпример: [math]f(x)=\sin(\frac{1}{x})[/math]. Она действительно отображает всякий интервал в интервал и прерывна в нуле. Верный ли мой пример, заранее спасибо!

Автор:  Prokop [ 05 апр 2014, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Что понимается под термином "интервал'?
В Вашем примере интервал [math]\left({\frac{1}{{3\pi}},\frac{1}{{2\pi}}}\right)[/math] отображается на [math](0,1][/math].

Автор:  Enosha [ 05 апр 2014, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Prokop
Интервал - круглые скобочки:)
Да, понял ошибку.
Кажется, нужна монотонная функция

Автор:  Prokop [ 05 апр 2014, 18:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Если функция строго монотонна, то у неё есть обратная, которая будет непрерывна в силу условия задачи. Следовательно и прямая функция будет непрерывна на множестве своего определения.

Автор:  Enosha [ 05 апр 2014, 20:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Prokop
Не понял про монотонность
Не могли бы вы показать на простом примере: какой интервал будет переходить в полуинтервал (отрезок), например для
[math]f(x)=\begin{cases}x &, x< 0 \\ x+1 &, x\geq 0 \end{cases}[/math]

Автор:  Prokop [ 05 апр 2014, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

В Вашем примере интервал [math](-1,1)[/math] отображается на [math]\left({- 1,0}\right)\bigcup{[1,2)}[/math].

Автор:  Enosha [ 06 апр 2014, 00:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Prokop
Так, ну с разрывом первого рода все понятно. Если считать, что [math](-1;\infty)\bigcup (-\infty;1)[/math] не интервал, то рассуждения такие:
Предположим обратное: пусть существует такая функция, которая отображает любой интервал в интервал и эта функция прерывна.
Берем точку разрыва (она есть, по предположению) и окрестность около этой точки. Если разрыв первого рода, то один из интервалов окажется полуинтервалом(как было сказано выше), что неверно. Если разрыв второго рода, то получаем что-то вроде [math](-1;-\infty)\bigcup (\infty;1)[/math] , что тоже не является интервалом. Значит, если у функции есть разрыв, то она не отображает всякий интервал в интервал, отсюда - функция непрерывна.
Верны ли мои рассуждения?

Автор:  Enosha [ 06 апр 2014, 13:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

А, я не разобрал случай разрыва первого рода, устранимого. Там тоже берется достаточно малая окрестность точки разрыва и получается интервал плюс точка, а это уже не интервал.
Но вот если сделать устранимый разрыв, а чтобы в самой точке функция была не определена, то не будет ли это контрпримером?[math]f(x)=\begin{cases}x^2 &, x\neq 0 \\ \frac{1}{x}& x=0 \end{cases}[/math]

Автор:  Prokop [ 06 апр 2014, 19:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Хотелось бы уточнить условие задачи.
Где определена функция? (Везде или нет?)
Где она непрерывна? (В области своего определения?)
Например, [math]y = \frac{1}{x}[/math]. На бесконечности положим её значение равным 0. При этом считаем что множества вида [math]\left({- \infty , - a}\right)\bigcup{\left({b,\infty}\right)}[/math], [math]a, b>0[/math], окрестностью (интервалом) точки бесконечность.

Автор:  Enosha [ 06 апр 2014, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отображение интервала на интервал

Prokop писал(а):
Хотелось бы уточнить условие задачи.
Где определена функция? (Везде или нет?)
Где она непрерывна? (В области своего определения?)
Например, [math]y = \frac{1}{x}[/math]. На бесконечности положим её значение равным 0. При этом считаем что множества вида [math]\left({- \infty , - a}\right)\bigcup{\left({b,\infty}\right)}[/math], [math]a, b>0[/math], окрестностью (интервалом) точки бесконечность.

А, кстати да... Вполне возможно, что имеется в виду непрерывность на ОДЗ. Но тогда получается, что разрыв второго рода вообще можно не рассматривать, ведь тогда функция просто - напросто не определена в точке разрыва и на ОДЗ непрерывна. В таком случае, кажется, такой функции существовать не будет

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/