Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 05 апр 2014, 13:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2014, 13:05
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день! Проверьте, пожалуйста, мой контрпример для задачи: Пусть функция [math]f(x)[/math] отображает всякий интервал на интервал. Верно ли, что она непрерывна?
Я беру контрпример: [math]f(x)=\sin(\frac{1}{x})[/math]. Она действительно отображает всякий интервал в интервал и прерывна в нуле. Верный ли мой пример, заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 05 апр 2014, 18:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что понимается под термином "интервал'?
В Вашем примере интервал [math]\left({\frac{1}{{3\pi}},\frac{1}{{2\pi}}}\right)[/math] отображается на [math](0,1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 05 апр 2014, 18:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2014, 13:05
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Интервал - круглые скобочки:)
Да, понял ошибку.
Кажется, нужна монотонная функция

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 05 апр 2014, 18:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если функция строго монотонна, то у неё есть обратная, которая будет непрерывна в силу условия задачи. Следовательно и прямая функция будет непрерывна на множестве своего определения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 05 апр 2014, 20:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2014, 13:05
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Не понял про монотонность
Не могли бы вы показать на простом примере: какой интервал будет переходить в полуинтервал (отрезок), например для
[math]f(x)=\begin{cases}x &, x< 0 \\ x+1 &, x\geq 0 \end{cases}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 05 апр 2014, 20:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В Вашем примере интервал [math](-1,1)[/math] отображается на [math]\left({- 1,0}\right)\bigcup{[1,2)}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 06 апр 2014, 00:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2014, 13:05
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Так, ну с разрывом первого рода все понятно. Если считать, что [math](-1;\infty)\bigcup (-\infty;1)[/math] не интервал, то рассуждения такие:
Предположим обратное: пусть существует такая функция, которая отображает любой интервал в интервал и эта функция прерывна.
Берем точку разрыва (она есть, по предположению) и окрестность около этой точки. Если разрыв первого рода, то один из интервалов окажется полуинтервалом(как было сказано выше), что неверно. Если разрыв второго рода, то получаем что-то вроде [math](-1;-\infty)\bigcup (\infty;1)[/math] , что тоже не является интервалом. Значит, если у функции есть разрыв, то она не отображает всякий интервал в интервал, отсюда - функция непрерывна.
Верны ли мои рассуждения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 06 апр 2014, 13:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2014, 13:05
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А, я не разобрал случай разрыва первого рода, устранимого. Там тоже берется достаточно малая окрестность точки разрыва и получается интервал плюс точка, а это уже не интервал.
Но вот если сделать устранимый разрыв, а чтобы в самой точке функция была не определена, то не будет ли это контрпримером?[math]f(x)=\begin{cases}x^2 &, x\neq 0 \\ \frac{1}{x}& x=0 \end{cases}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 06 апр 2014, 19:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хотелось бы уточнить условие задачи.
Где определена функция? (Везде или нет?)
Где она непрерывна? (В области своего определения?)
Например, [math]y = \frac{1}{x}[/math]. На бесконечности положим её значение равным 0. При этом считаем что множества вида [math]\left({- \infty , - a}\right)\bigcup{\left({b,\infty}\right)}[/math], [math]a, b>0[/math], окрестностью (интервалом) точки бесконечность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отображение интервала на интервал
СообщениеДобавлено: 06 апр 2014, 19:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2014, 13:05
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Хотелось бы уточнить условие задачи.
Где определена функция? (Везде или нет?)
Где она непрерывна? (В области своего определения?)
Например, [math]y = \frac{1}{x}[/math]. На бесконечности положим её значение равным 0. При этом считаем что множества вида [math]\left({- \infty , - a}\right)\bigcup{\left({b,\infty}\right)}[/math], [math]a, b>0[/math], окрестностью (интервалом) точки бесконечность.

А, кстати да... Вполне возможно, что имеется в виду непрерывность на ОДЗ. Но тогда получается, что разрыв второго рода вообще можно не рассматривать, ведь тогда функция просто - напросто не определена в точке разрыва и на ОДЗ непрерывна. В таком случае, кажется, такой функции существовать не будет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Утверждение для доверительного интервала

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

None

1

263

26 дек 2017, 17:28

Корректность определения доверительного интервала

в форуме Теория вероятностей

DoomMania

2

554

09 ноя 2016, 21:56

Мера множества концов интервала?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

rancid_rot

10

449

13 авг 2020, 16:46

Построение доверительного интервала Стьюдента

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

IgDm

12

652

17 июл 2020, 19:36

Решение неравенства методом интервала

в форуме Алгебра

dikarka2004

6

146

29 окт 2023, 22:10

Неравенство Чебышева и симметричность интервала

в форуме Теория вероятностей

alekscooper

2

451

27 мар 2021, 09:03

Нахождение и исследование оценки и дов. интервала

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Ann96

0

236

28 ноя 2016, 17:33

Как найти угол внутри интервала?

в форуме Тригонометрия

kpinn

1

150

12 авг 2024, 09:03

Вычисление доверительного интервала доли в косвенных изм

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

ArtPro

0

173

05 ноя 2021, 10:21

Задача на нахождение и исследование оценки и дов. интервала

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Darua625

0

296

28 ноя 2016, 17:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved