Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пределы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=32001
Страница 1 из 1

Автор:  lllulll [ 29 мар 2014, 11:27 ]
Заголовок сообщения:  Пределы

Помогите пожалуйста, решить два данных предела. Дайте идею, как в этих пределах можно применить правило Лопиталя. Заранее спасибо! Изображение
Изображение

Автор:  Yurik [ 29 мар 2014, 12:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Например, так.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{x^3}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) - {x^2} + \frac{x}{2}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\ln }^2}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^{{x^3}}} - {{\left( {{x^2} - \frac{x}{2}} \right)}^2}}}{{\ln {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^{{x^3}}} + {x^2} - \frac{x}{2}}} = ... \hfill \\ \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\pi - 2\operatorname{arctg}x} \right)\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}}{{{{\left( {\pi - 2\operatorname{arctg}x} \right)}^{ - 1}}}} = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  lllulll [ 29 мар 2014, 12:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

А Вы бы могли мне объяснить, что Вы сделали с первым пределом, не очень могу понять.

Автор:  Yurik [ 29 мар 2014, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Сгруппировал и дополнил до разности квадратов.
[math]{x^3}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) - {x^2} + \frac{x}{2} = \ln {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{{x^3}}} - \left( {{x^2} - \frac{x}{2}} \right) = \frac{{{{\ln }^2}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^{{x^3}}} - {{\left( {{x^2} - \frac{x}{2}} \right)}^2}}}{{\ln {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^{{x^3}}} + \left( {{x^2} - \frac{x}{2}} \right)}}[/math]

Автор:  lllulll [ 29 мар 2014, 13:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Спасибо большое

Автор:  lllulll [ 29 мар 2014, 15:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Дальше все равно не знаю, что делать......Изображение

Автор:  Yurik [ 29 мар 2014, 16:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}}{{{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^{ - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{ - 2x}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^2} + 2x{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^2}}}{{ - 2}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\pi - 2arctgx} \right)^2}\left( {2 + x} \right) = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

В общем, если долго мучиться, должен получиться ноль.

Автор:  lllulll [ 29 мар 2014, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

А Вы случайно не ошиблись, когда искази производную? Посмотрите пожалуйста мой вариант решенияИзображение

Автор:  Yurik [ 30 мар 2014, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Конечно ошибся, поэтому привожу, на мой взгляд, правильное полное решение.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}}{{{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^{ - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{ - 2x}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 4\left( {\pi - 2arctgx} \right) + 2x{{\left( {\pi - 2arctgx} \right)}^2}}}{{ - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\pi - 2arctgx} \right)\left( {2 - \pi x + 2xarctgx} \right) = \hfill \\ \left| \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2 - \pi x + 2xarctgx} \right) = 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\pi - 2arctgx} \right) = 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\pi - 2arctgx}}{{{x^{ - 1}}}}} \right) = \hfill \\ = 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right) = 2 - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\pi - 2arctgx} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\pi x - 2xarctgx - 2} \right) = 0 \cdot 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/