Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=31930
Страница 1 из 2

Автор:  Alukard [ 26 мар 2014, 13:22 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

z := (x+9)*ln(1+(x+6)^2)/(x-2)
Функция, проблема вот в чём.
Производная ln(1+(x+6)^2)/(x-2)-(x+9)*ln(1+(x+6)^2)/(x-2)^2+(x+9)*(2*x+12)/((x-2)*(1+(x+6)^2))
Так вот производная равна нулю только в икс = -6, НО на графике мы имеем перегиб ещё и где-то в районе x=-7,5 или около того. Вот графики: обычный и более крупный в области x=-10..-4
Изображение

Помогите решить проблему с производной на перегибе в районе x=-7,5. Как найти тот икс???

Автор:  Avgust [ 26 мар 2014, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

Тут три экстремума:

[math]x\approx -7.50902635...[/math]

[math]x=-6[/math]

[math]x\approx 42[/math]

График производной это доказывает:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %29%29%3D0

Изображение

Автор:  Alukard [ 27 мар 2014, 07:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

Вопрос, как найти аналитически значения производной, кроме тривиального значения x=-6

Автор:  Avgust [ 27 мар 2014, 16:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

Методом итерации Ньютона.

Автор:  mad_math [ 27 мар 2014, 16:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

Что вы называете "перегибом"?

Автор:  Alukard [ 27 мар 2014, 20:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

mad_math писал(а):
Что вы называете "перегибом"?

место, где возрастание меняется на убывание и наоборот

Автор:  Analitik [ 27 мар 2014, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

Alukard писал(а):
место, где возрастание меняется на убывание и наоборот


в простонародье это принято называть не перегибом, а экстремумом.
а перегиб - это смена характера выпуклости графика.

Теперь по делу. Как выглядит Ваша функция? Запишите ее с помощью редактора формул, чтобы избежать разночтений.

Автор:  Alukard [ 27 мар 2014, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

[math]\frac{ x+9 }{ x-2 } \ln{(1+(x+6)^{2}) }[/math]

Автор:  Alukard [ 27 мар 2014, 21:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

В идеале нужно найти точки экстремума аналитическим способом, а не численным, как предлагал товарищ Avgust

Автор:  Avgust [ 28 мар 2014, 00:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию. Что-то тут не чисто)

Alukard! Вы умеете решать такое трансцендентное уравнение аналитически:

[math]\frac {2}{11}(x-2)(x+6)(x+9)=\left [1+(x+6)^2 \right ] \ln \left [1+(x+6)^2 \right ][/math]

???

Внимательно Вас слушаю!

Тут только один корень виден явно: [math]x=-6[/math]

Остальные два я умею находить только численно.
А Вы хоть знаете, почему именно два корня еще есть?

Я не буду голословным, а покажу, как находил второй и третий корни.
Программа такая:
open #1,"Newton_Al2.txt","w"
x0=-9
print #1,"x0 = ";:print #1,x0
for i=1 to 8
a=1+(x0+6)^2
x1=x0-((x0-2)*(x0+6)*(x0+9)-11/2*a*log(a))/(3*(x0^2+5*x0-14)-11*(x0+6)*log(a))
print i,x1
print #1, i using "###",x1 using "###.#########################"
x0=x1
next i


Понадобилось всего 8 циклов, чтобы с огромной точностью получить результат:

x0 = -9
1 -8.1080613773552965284352467
2 -7.6727706313654371328425440
3 -7.5275088421320983655959935
4 -7.5093101866286637857683672
5 -7.5090264255621841371635127
6 -7.5090263568597173104990361
7 -7.5090263568597128696069376
8 -7.5090263568597128696069376

Если же в этой проге изменить начальное x0=40, то будем иметь третий корень:

x0 = 40
1 42.3672671990729767799166438
2 42.1354366576689187695592408
3 42.1330443073638676310110895
4 42.1330440539081010342670197
5 42.1330440539081010342670197


А вот как Ньютон находит первый корень:

x0 = -5
1 -5.7178819649193739493853172
2 -5.9718993913731628353502856
3 -5.9996643878638336033759514
4 -5.9999999507395767039952261
5 -5.9999999999999991118215802
6 -6.0000000000000000000000000

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/