| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Пользуясь определением предела функции в точке http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=31679 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Apol [ 17 мар 2014, 17:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Пользуясь определением предела функции в точке |
Доброго времени суток , все эти непонятные пределы , если не трудно , подайте идею решения , буду очень благодарен. Пользуясь определением предела функции в точке,доказать: Lim(2x-1)=3 при x->2 Ну, не хочется наглеть, но с этим тоже: Lim((x^2-1)/(x-1))=2 при x->1 Заранее спасибо |
|
| Автор: | Radley [ 19 мар 2014, 10:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции в точке |
Цитата: Lim((x^2-1)/(x-1))=2 при x->1 Упростите числитель по формуле разности квадратов. |
|
| Автор: | BENEDIKT [ 19 мар 2014, 15:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции в точке |
Apol У Вас 2 выражения: [math]\lim_{x \to 2}\ (2x-1)=3[/math] и [math]\lim_{x \to 1}\ (x+1)=2[/math] Второе упрощено, как советовал Radley. В первом случае, если [math]x \to 2[/math], то [math]2x \to 4[/math], а [math]f(x) \to 3[/math], т. е. [math](2x-1) \to 3[/math] Далее в соответствии с определением предела функции в точке. Поскольку [math](2x-1)[/math] стремится к [math]3[/math], то [math]\lvert (2x-1)-3\rvert \to 0[/math], т. е. [math]\lvert (2x-1)-3\rvert[/math] меньше любого сколь угодно малого положительного числа [math]\varepsilon[/math] Тогда [math]\lvert 2x-4\rvert< \varepsilon[/math] и [math]\lvert x-2\rvert < \frac{\varepsilon}{2}[/math] Таким образом, для любого [math]\varepsilon >0[/math] найдётся такое число [math]\delta =\frac{\varepsilon}{2}[/math], что для всех [math]x[/math], не равных [math]2[/math], удовлетворяющих условию [math]\lvert x-2\rvert < \delta[/math], верно неравенство [math]\lvert f(x) -3\rvert <\varepsilon[/math], где [math]f(x)=(2x-1)[/math], что как раз и означает [math]\lim_{x \to 2}\ (2x-1)=3[/math] Т. о. если [math]x[/math] стремится к [math]2[/math], то [math]f(x)[/math] стремится к [math]3[/math]. Второй пример аналогичен. Сам по себе смысл определения предела функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0[/math] в том, что для всех значений [math]x[/math], достаточно близких к [math]x_0[/math] (разность между [math]x[/math] и [math]x_0[/math] меньше любого как угодно малого положительного числа [math]\delta[/math]), значения функции как угодно мало (меньше любого сколь угодно малого положительного числа [math]\varepsilon[/math]) отличаются (по абсолютной величине) от числа, именуемого пределом функции. Он и "пределом" является потому, что значения функции не могут быть по модулю больше его и лишь как угодно близко приближаются к его значению (разумеется, при [math]x[/math], приближающемся к значению [math]x_0[/math], т. е. данной точки). Удобно также представить это на графике (его легко найти в Гугле). Если [math]x[/math] на оси абсцисс находится в [math]\delta[/math]-окрестности точки [math]x_0[/math], то [math]y[/math] на оси ординат - в [math]\varepsilon[/math] - окрестности точки [math]A[/math], т. е. своего предела. "Окрестность" - это и справа и слева (сверху и снизу) от [math]x_0[/math] (или предела [math]A[/math] соответственно). Поэтому значения меньше именно по абсолютной величине. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|