Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пользуясь определением предела функции в точке
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=31679
Страница 1 из 1

Автор:  Apol [ 17 мар 2014, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Пользуясь определением предела функции в точке

Доброго времени суток , все эти непонятные пределы , если не трудно , подайте идею решения , буду очень благодарен.
Пользуясь определением предела функции в точке,доказать:
Lim(2x-1)=3 при x->2
Ну, не хочется наглеть, но с этим тоже:
Lim((x^2-1)/(x-1))=2 при x->1
Заранее спасибо

Автор:  Radley [ 19 мар 2014, 10:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции в точке

Цитата:
Lim((x^2-1)/(x-1))=2 при x->1



Упростите числитель по формуле разности квадратов.

Автор:  BENEDIKT [ 19 мар 2014, 15:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции в точке

Apol
У Вас 2 выражения:
[math]\lim_{x \to 2}\ (2x-1)=3[/math] и [math]\lim_{x \to 1}\ (x+1)=2[/math]
Второе упрощено, как советовал Radley.
В первом случае, если [math]x \to 2[/math], то [math]2x \to 4[/math], а [math]f(x) \to 3[/math], т. е. [math](2x-1) \to 3[/math]
Далее в соответствии с определением предела функции в точке. Поскольку [math](2x-1)[/math] стремится к [math]3[/math], то [math]\lvert (2x-1)-3\rvert \to 0[/math], т. е. [math]\lvert (2x-1)-3\rvert[/math] меньше любого сколь угодно малого положительного числа [math]\varepsilon[/math]
Тогда [math]\lvert 2x-4\rvert< \varepsilon[/math] и [math]\lvert x-2\rvert < \frac{\varepsilon}{2}[/math]
Таким образом, для любого [math]\varepsilon >0[/math] найдётся такое число [math]\delta =\frac{\varepsilon}{2}[/math], что для всех [math]x[/math], не равных [math]2[/math], удовлетворяющих условию [math]\lvert x-2\rvert < \delta[/math], верно неравенство [math]\lvert f(x) -3\rvert <\varepsilon[/math], где [math]f(x)=(2x-1)[/math], что как раз и означает [math]\lim_{x \to 2}\ (2x-1)=3[/math]
Т. о. если [math]x[/math] стремится к [math]2[/math], то [math]f(x)[/math] стремится к [math]3[/math].
Второй пример аналогичен.

Сам по себе смысл определения предела функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0[/math] в том, что для всех значений [math]x[/math], достаточно близких к [math]x_0[/math] (разность между [math]x[/math] и [math]x_0[/math] меньше любого как угодно малого положительного числа [math]\delta[/math]), значения функции как угодно мало (меньше любого сколь угодно малого положительного числа [math]\varepsilon[/math]) отличаются (по абсолютной величине) от числа, именуемого пределом функции. Он и "пределом" является потому, что значения функции не могут быть по модулю больше его и лишь как угодно близко приближаются к его значению (разумеется, при [math]x[/math], приближающемся к значению [math]x_0[/math], т. е. данной точки).
Удобно также представить это на графике (его легко найти в Гугле). Если [math]x[/math] на оси абсцисс находится в [math]\delta[/math]-окрестности точки [math]x_0[/math], то [math]y[/math] на оси ординат - в [math]\varepsilon[/math] - окрестности точки [math]A[/math], т. е. своего предела. "Окрестность" - это и справа и слева (сверху и снизу) от [math]x_0[/math] (или предела [math]A[/math] соответственно). Поэтому значения меньше именно по абсолютной величине.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/