Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверьте предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=31445
Страница 1 из 1

Автор:  fright [ 07 мар 2014, 00:12 ]
Заголовок сообщения:  Проверьте предел

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решил
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\ln (\sin 3x)}}{{\ln (\sin x)}}) = [\frac{\infty}{\infty}] = 3\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\cos 3x \cdot \sin x}}{{\sin 3x \cdot \cos x}}) = 3\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}1 = 3[/math]

[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(cosx \cdot \frac{1}{{{{\sin}^2}3x}}) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{ctgx \cdot \sin x}}{{9{x^2}}}) = [\frac{0}{0}] = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{- \frac{{\sin x}}{{{{\sin}^2}x}}+ \frac{{{{\cos}^2}x}}{{\sin x}}}}{{18x}}) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\frac{{{{\cos}^2}x - 1}}{{\sin x}}}}{{18x}}) = \mathop{\frac{1}{{18}}\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\sin x}}{x}) = \frac{1}{{18}}[/math]

Автор:  mad_math [ 07 мар 2014, 02:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте предел

fright писал(а):
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\ln (\sin 3x)}}{{\ln (\sin x)}}) = [\frac{\infty}{\infty}] = 3\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\cos 3x \cdot \sin x}}{{\sin 3x \cdot \cos x}}) = 3\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}1 = 3[/math]

На втором шаге получаем неопределённость [math]\frac{0}{0}[/math]:
[math]3\lim_{x\to 0}\frac{\cos{3x}\cdot\sin{x}}{\sin{3x}\cdot\cos{x}}=\left[\frac{0}{0}\right]=3\lim_{x\to 0}\frac{\cos{3x}\cdot x}{3x\cdot\cos{x}}=3\cdot\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}=1[/math]

Автор:  mad_math [ 07 мар 2014, 03:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте предел

fright писал(а):
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(cosx \cdot \frac{1}{{{{\sin}^2}3x}}) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{ctgx \cdot \sin x}}{{9{x^2}}}) = [\frac{0}{0}] = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{- \frac{{\sin x}}{{{{\sin}^2}x}}+ \frac{{{{\cos}^2}x}}{{\sin x}}}}{{18x}}) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\frac{{{{\cos}^2}x - 1}}{{\sin x}}}}{{18x}}) = \mathop{\frac{1}{{18}}\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\sin x}}{x}) = \frac{1}{{18}}[/math]
Зачем? Неопределённости-то нет:
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(cosx \cdot \frac{1}{{{{\sin}^2}3x}}) =\left[\frac{1}{0}\right]=+\infty[/math]

Автор:  fright [ 07 мар 2014, 03:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте предел

mad_math писал(а):
fright писал(а):
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(cosx \cdot \frac{1}{{{{\sin}^2}3x}}) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{ctgx \cdot \sin x}}{{9{x^2}}}) = [\frac{0}{0}] = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{- \frac{{\sin x}}{{{{\sin}^2}x}}+ \frac{{{{\cos}^2}x}}{{\sin x}}}}{{18x}}) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\frac{{{{\cos}^2}x - 1}}{{\sin x}}}}{{18x}}) = \mathop{\frac{1}{{18}}\lim}\limits_{x \to 0}(\frac{{\sin x}}{x}) = \frac{1}{{18}}[/math]
Зачем? Неопределённости-то нет:
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(cosx \cdot \frac{1}{{{{\sin}^2}3x}}) =\left[\frac{1}{0}\right]=+\infty[/math]


и все? это ответ?

Автор:  mad_math [ 07 мар 2014, 03:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте предел

fright писал(а):
и все? это ответ?
Да.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/