| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел числовой последовательности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=30681 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Treasure-trove [ 29 янв 2014, 12:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел числовой последовательности |
Нужно доказать, что [math]\lim_{n \to \infty } (1+\frac{ 1 }{ n })^q[/math] = 1, при [math]q \in \mathbb{R}[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 29 янв 2014, 15:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Treasure-trove, опишите конкретную проблему, с которой Вы столкнулись при решении данной задачи, чтобы обсуждение было предметным. |
|
| Автор: | Treasure-trove [ 29 янв 2014, 16:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Andy писал(а): Treasure-trove, опишите конкретную проблему, с которой Вы столкнулись при решении данной задачи, чтобы обсуждение было предметным. Вообще это не задача, а маленькая часть задачи на сходимость ряда. Вот, кстати, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\ln{(4n+2)})^a(\operatorname{arctg}\frac{ 1 }{ 9n^8 })^b[/math], при a, b [math]\in \mathbb{R}[/math] Я его решила, но преподавателю не нравится, что я пользуюсь этой формулой, не доказав ее. Если бы q было целым или хотя бы рациональным... Вот у нас получается [math]\lim_{n \to \infty} ( \to1)^q[/math] и что с этим делать дальше я не знаю. |
|
| Автор: | Andy [ 29 янв 2014, 16:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Treasure-trove, а откуда Вы взяли использованную Вами формулу (интуитивно ясно, что она верная)? И у меня, например, возникает вопрос, что представляет собой степенная функция отрицательного действительного аргумента, например, при иррациональных показателях. Вам известно такое определение? |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 29 янв 2014, 17:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Andy писал(а): Treasure-trove, а откуда Вы взяли использованную Вами формулу (интуитивно ясно, что она верная)? И у меня, например, возникает вопрос, что представляет собой степенная функция отрицательного действительного аргумента, например, при иррациональных показателях. Вам известно такое определение? А какое отношение этот вопрос имеет к обсуждаемому пределу? Ответ: никакого.
|
|
| Автор: | Radley [ 29 янв 2014, 17:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Цитата: Я его решила, но преподавателю не нравится, что я пользуюсь этой формулой, не доказав ее. Если бы q было целым или хотя бы рациональным... Я помню этот пример из другой темы. Арктангенс мы заменяем на эквивалентную функцию, с ним сложностей не должно быть. Логарифм можно с чем-то сравнить. Мне немного неясно, на каком этапе Вы столкнулись с таким пределом. |
|
| Автор: | Treasure-trove [ 29 янв 2014, 17:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Radley писал(а): Цитата: Я его решила, но преподавателю не нравится, что я пользуюсь этой формулой, не доказав ее. Если бы q было целым или хотя бы рациональным... Я помню этот пример из другой темы. Арктангенс мы заменяем на эквивалентную функцию, с ним сложностей не должно быть. Логарифм можно с чем-то сравнить. Мне немного неясно, на каком этапе Вы столкнулись с таким пределом. На самом деле я столкнулась вот с такой проблемой Доказать, что [math](\ln{(4n+2)})^q \sim (\ln{n})^q[/math] Понятно, что они эквивалентны без степени... Отсюда и получается, что нужно доказать [math]\lim_{n \to \infty} ( \to 1)^q = 1[/math] |
|
| Автор: | Radley [ 29 янв 2014, 17:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Я б их эквивалентность доказал по-другому. Ф-ии эквивалентны, если предел их отношения на бесконечности равен конечному числу. Составляем такой предел, полученную неопределённость, раскрываем её по правилу Лопиталя, должно получиться 4 (или 1/4, если Вы переставите числитель и знаменатель). |
|
| Автор: | Treasure-trove [ 29 янв 2014, 17:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Radley писал(а): Я б их эквивалентность доказал по-другому. Ф-ии эквивалентны, если предел их отношения на бесконечности равен конечному числу. Составляем такой предел, полученную неопределённость, раскрываем её по правилу Лопиталя, должно получиться 4 (или 1/4, если Вы переставите числитель и знаменатель). Ну да, я так и доказывала их эквивалентность без степени, а что делать со степенью я не знаю. |
|
| Автор: | Radley [ 29 янв 2014, 17:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Это- какой-то очевидный факт, странно, что его вообще нужно доказывать. Скажите, что у вас- 2 бесконечно-большие величины одного порядка, произведение бесконечно-больших величин (или возведение в положительную степень) тоже является величиной бесконечно-большой... |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|