Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел числовой последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=30681
Страница 1 из 2

Автор:  Treasure-trove [ 29 янв 2014, 12:54 ]
Заголовок сообщения:  Предел числовой последовательности

Нужно доказать, что
[math]\lim_{n \to \infty } (1+\frac{ 1 }{ n })^q[/math] = 1, при [math]q \in \mathbb{R}[/math]

Автор:  Andy [ 29 янв 2014, 15:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Treasure-trove, опишите конкретную проблему, с которой Вы столкнулись при решении данной задачи, чтобы обсуждение было предметным.

Автор:  Treasure-trove [ 29 янв 2014, 16:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Andy писал(а):
Treasure-trove, опишите конкретную проблему, с которой Вы столкнулись при решении данной задачи, чтобы обсуждение было предметным.

Вообще это не задача, а маленькая часть задачи на сходимость ряда.
Вот, кстати, ряд
[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\ln{(4n+2)})^a(\operatorname{arctg}\frac{ 1 }{ 9n^8 })^b[/math], при a, b [math]\in \mathbb{R}[/math]
Я его решила, но преподавателю не нравится, что я пользуюсь этой формулой, не доказав ее.
Если бы q было целым или хотя бы рациональным...
Вот у нас получается
[math]\lim_{n \to \infty} ( \to1)^q[/math]
и что с этим делать дальше я не знаю.

Автор:  Andy [ 29 янв 2014, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Treasure-trove, а откуда Вы взяли использованную Вами формулу (интуитивно ясно, что она верная)? И у меня, например, возникает вопрос, что представляет собой степенная функция отрицательного действительного аргумента, например, при иррациональных показателях. Вам известно такое определение?

Автор:  grigoriew-grisha [ 29 янв 2014, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Andy писал(а):
Treasure-trove, а откуда Вы взяли использованную Вами формулу (интуитивно ясно, что она верная)? И у меня, например, возникает вопрос, что представляет собой степенная функция отрицательного действительного аргумента, например, при иррациональных показателях. Вам известно такое определение?
А какое отношение этот вопрос имеет к обсуждаемому пределу? Ответ: никакого. :lol:

Автор:  Radley [ 29 янв 2014, 17:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Цитата:
Я его решила, но преподавателю не нравится, что я пользуюсь этой формулой, не доказав ее.
Если бы q было целым или хотя бы рациональным...



Я помню этот пример из другой темы. Арктангенс мы заменяем на эквивалентную функцию, с ним сложностей не должно быть. Логарифм можно с чем-то сравнить. Мне немного неясно, на каком этапе Вы столкнулись с таким пределом.

Автор:  Treasure-trove [ 29 янв 2014, 17:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Radley писал(а):
Цитата:
Я его решила, но преподавателю не нравится, что я пользуюсь этой формулой, не доказав ее.
Если бы q было целым или хотя бы рациональным...



Я помню этот пример из другой темы. Арктангенс мы заменяем на эквивалентную функцию, с ним сложностей не должно быть. Логарифм можно с чем-то сравнить. Мне немного неясно, на каком этапе Вы столкнулись с таким пределом.

На самом деле я столкнулась вот с такой проблемой
Доказать, что
[math](\ln{(4n+2)})^q \sim (\ln{n})^q[/math]
Понятно, что они эквивалентны без степени...
Отсюда и получается, что нужно доказать
[math]\lim_{n \to \infty} ( \to 1)^q = 1[/math]

Автор:  Radley [ 29 янв 2014, 17:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Я б их эквивалентность доказал по-другому. Ф-ии эквивалентны, если предел их отношения на бесконечности равен конечному числу. Составляем такой предел, полученную неопределённость, раскрываем её по правилу Лопиталя, должно получиться 4 (или 1/4, если Вы переставите числитель и знаменатель).

Автор:  Treasure-trove [ 29 янв 2014, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Radley писал(а):
Я б их эквивалентность доказал по-другому. Ф-ии эквивалентны, если предел их отношения на бесконечности равен конечному числу. Составляем такой предел, полученную неопределённость, раскрываем её по правилу Лопиталя, должно получиться 4 (или 1/4, если Вы переставите числитель и знаменатель).

Ну да, я так и доказывала их эквивалентность без степени, а что делать со степенью я не знаю.

Автор:  Radley [ 29 янв 2014, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Это- какой-то очевидный факт, странно, что его вообще нужно доказывать. Скажите, что у вас- 2 бесконечно-большие величины одного порядка, произведение бесконечно-больших величин (или возведение в положительную степень) тоже является величиной бесконечно-большой...

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/