Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пределы с натуральным логарифмом
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=30670
Страница 1 из 1

Автор:  ioleg [ 28 янв 2014, 22:55 ]
Заголовок сообщения:  Пределы с натуральным логарифмом

Изображение
Здравствуйте, подскажите как решить эти пределы, пожалуйста. В 3 задании я только пока что вынес степень ln (1/3) в начало, дальше не знаю, что делать, неопределенность 1/3x остается. В 4 задании представил функцию как e^ln(f(x)) и тоже вынес степень логарифма в начало, что делать дальше?

Автор:  erjoma [ 28 янв 2014, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

В 3 используйте:
[math]\begin{array}{l}\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\end{array}[/math]



А 4 нужно вычислить без применения правила Лопиталя?

Автор:  ioleg [ 28 янв 2014, 23:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

да, без Лопиталя

Автор:  radix [ 28 янв 2014, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

В четвёртом можно сделать замену переменной t=x-1 и тоже подвести ко второму замечательному пределу.

Автор:  erjoma [ 28 янв 2014, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

ioleg писал(а):
В 4 задании представил функцию как e^ln(f(x)) и тоже вынес степень логарифма в начало, что делать дальше?
.

Тогда делайте замену [math]t=x-1[/math] и вспоминайте из тригонометрии чему равен тангенс суммы углов. Дальше можно по аналогии с 3

Автор:  ioleg [ 28 янв 2014, 23:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

Большое спасибо, вроде все получилось, в 3 ответ получился 5/3, в 4 ответ 1.

Автор:  radix [ 29 янв 2014, 12:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

В четвёртом [math]e^{\frac{ \pi }{ 2 } }[/math]
Проверьте, Вы, скорее всего, вместо "плюс" "минус" написали на последнем шаге.
То есть в конце должно получиться
[math]e^{\frac{ \pi }{ 4 } +\frac{ \pi }{ 4 }}[/math]

Автор:  Yurik [ 29 янв 2014, 14:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы с натуральным логарифмом

Четвёртый можно свести ко второму замечательному, и в замене нет необходимости.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {tg\frac{{\pi x}}{4}} \right)^{\frac{1}{{x - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + tg\frac{{\pi x}}{4} - 1} \right)^{\frac{1}{{tg\frac{{\pi x}}{4} - 1}}\frac{{tg\frac{{\pi x}}{4} - 1}}{{x - 1}}}} = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{tg\frac{{\pi x}}{4} - 1}}{{x - 1}}} \right] = \hfill \\ = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{4}\left( {x - 1} \right)} \right)}}{{\cos \frac{{\pi x}}{4}\cos \frac{\pi }{4}\left( {x - 1} \right)}}} \right] = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{\pi }{4}\left( {x - 1} \right)}}{{\cos \frac{{\pi x}}{4}\cos \frac{\pi }{4}\left( {x - 1} \right)}}} \right] = \hfill \\ = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{\pi }{4}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{4}\cos \frac{\pi }{4}}}} \right] = {e^{\frac{\pi }{2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/