Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить пределы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=30596
Страница 1 из 2

Автор:  vladislav42 [ 26 янв 2014, 10:00 ]
Заголовок сообщения:  Решить пределы

решить пределы

и по возможности найдите производнуюИзображение

Автор:  Andy [ 26 янв 2014, 10:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

vladislav42, чтобы найти производную фунции [math]y=2^{x^x},[/math] примените логарифмическое дифференцирование. Имеем
[math]\ln y=x\ln{2^x}=x^2\ln{2},[/math]

[math]\frac{y'}{y}=2x\ln{2},[/math]

[math]y'=2xy\ln{2}=...[/math]

Автор:  Avgust [ 26 янв 2014, 11:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

Расскажу о довольно интересном пределе, где кубический корень.
В нем число, то есть 1984 - это пыль в глаза, его можно не учитывать. Слишком оно мало по-сравнению с бесконечностью. Теперь рассмотрим более общую задачу:

[math]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3+an^2}-n=n \left (\sqrt[3]{1+\frac an} -1\right )=\lim \limits_{t \to 0} \frac 1t \cdot \left ( \sqrt[3] {1+at}-1\right )= \lim \limits_{t \to 0} \frac{\frac 13 \cdot a \cdot t}{t}=\frac a3[/math]

Следовательно, Ваш предел будет равен [math]\frac 13[/math]

Автор:  vladislav42 [ 27 янв 2014, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

Avgust писал(а):
Расскажу о довольно интересном пределе, где кубический корень.
В нем число, то есть 1984 - это пыль в глаза, его можно не учитывать. Слишком оно мало по-сравнению с бесконечностью. Теперь рассмотрим более общую задачу:

[math]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3+an^2}-n=n \left (\sqrt[3]{1+\frac an} -1\right )=\lim \limits_{t \to 0} \frac 1t \cdot \left ( \sqrt[3] {1+at}-1\right )= \lim \limits_{t \to 0} \frac{\frac 13 \cdot a \cdot t}{t}=\frac a3[/math]

Следовательно, Ваш предел будет равен [math]\frac 13[/math]

т.е мы 1984 заменяем на a?

Автор:  vladislav42 [ 27 янв 2014, 13:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

Andy писал(а):
vladislav42, чтобы найти производную фунции [math]y=2^{x^x},[/math] примените логарифмическое дифференцирование. Имеем
[math]\ln y=x\ln{2^x}=x^2\ln{2},[/math]

[math]\frac{y'}{y}=2x\ln{2},[/math]

[math]y'=2xy\ln{2}=...[/math]

я решал через экспоненту и получилось так:
[math]y=2^{x^x}=e^{x^x}^{ln2}=e^{x^x}^{ln2}*(x^x*ln2)=2^{x^x}*x^x*ln2+\frac{ 1 }{ 2 } *x^x[/math]
А в ответе задачника ответ:[math]ln(2)*2^{x^x}*x^x(1+ln x)[/math]
Подскажите,где у меня ошибка?

Автор:  vladislav42 [ 27 янв 2014, 13:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

2 предел я решаю по формуле,где U(x)->1,V(x)->[math]\infty[/math],при x->a[math]\lim_{x \to a}U(x)^{V(x)}=lim(1+(U-1))^{V(x)}=lim((1+(U-1)^{\frac{ 1}{ (U-1) } })^{(U-1)*V}=e^{\lim_{x \to a}(U(x)-1)*V(x))}[/math]
и как бы я не решал у меня ответ:[math]{e^0}=1[/math],а в ответе [math]\frac{ 1 }{\sqrt{e} }[/math]

Автор:  Andy [ 27 янв 2014, 15:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

vladislav42, тогда так:
[math]y'= 2^{x^x} \cdot \ln{2} \cdot (x^x)'=2^{x^x} \cdot \ln{2} \cdot x^x(1+\ln x).[/math]

Автор:  Avgust [ 27 янв 2014, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

vladislav42 писал(а):
т.е мы 1984 заменяем на a?
Нет, что Вы! Мы просто это число игнорируем, как мелкий-мелкий микроб. Оно - ничто по-сравнению с бесконечностью.
[math]a[/math] я ввел сам, чтобы показать решение более общей задачи. У Вас [math]a=1[/math]. Но часто попадаются примеры, где коэффициент при [math]n^2[/math] отличен от единицы. Ну, сами понимаете: чем более общая задача решается, тем больше различных примеров охватывается.

Автор:  vladislav42 [ 28 янв 2014, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

vladislav42 писал(а):
Andy писал(а):
vladislav42, чтобы найти производную фунции [math]y=2^{x^x},[/math] примените логарифмическое дифференцирование. Имеем
[math]\ln y=x\ln{2^x}=x^2\ln{2},[/math]

[math]\frac{y'}{y}=2x\ln{2},[/math]

[math]y'=2xy\ln{2}=...[/math]

я решал через экспоненту и получилось так:
[math]y=2^{x^x}=e^{x^x}^{ln2}=e^{x^x}^{ln2}*(x^x*ln2)=2^{x^x}*x^x*ln2+\frac{ 1 }{ 2 } *x^x[/math]
А в ответе задачника ответ:[math]ln(2)*2^{x^x}*x^x(1+ln x)[/math]
Подскажите,где у меня ошибка?

преподаватель проверил,сказал ход мысли правильный,но сказал надо еще находить[math]e^{x^x}[/math].
а как я не представляю

Автор:  vladislav42 [ 28 янв 2014, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить пределы

Avgust писал(а):
vladislav42 писал(а):
т.е мы 1984 заменяем на a?
Нет, что Вы! Мы просто это число игнорируем, как мелкий-мелкий микроб. Оно - ничто по-сравнению с бесконечностью.
[math]a[/math] я ввел сам, чтобы показать решение более общей задачи. У Вас [math]a=1[/math]. Но часто попадаются примеры, где коэффициент при [math]n^2[/math] отличен от единицы. Ну, сами понимаете: чем более общая задача решается, тем больше различных примеров охватывается.

а как мы кубический корень преобразовали в [math]\frac{ 1 }{ 3}[/math] ?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/