Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=30471
Страница 1 из 1

Автор:  IgorBritva [ 21 янв 2014, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Никак не могу разобраться с данным пределом без правила Лопиталя, поэтому прошу помощи у сведущих в данной теме. У меня здесь получается неопределенность вида Изображение. Проблема в том, что преобразовать у меня не получается. Тому, кто откликнется +100000 очков к карме :D1 !
[math]\lim_{x\rightarrow 0}(cos(2\pi +x))^\cot(2x)[/math]

Автор:  grigoriew-grisha [ 21 янв 2014, 23:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Как нельзя "купить" небесную синеву, так и предел нельзя "решить", вот и не получается. :lol:

Автор:  radix [ 22 янв 2014, 00:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Ко второму замечательному можно свести. В основании степени будет единица плюс выражение, стремящееся к нулю. Например:
[math]1+(\cos{x} -1)[/math]
Показатель степени достройте сами.
Для преобразования того, что получится в показателе Вам могут пригодиться формулы:
[math]1-\cos{x} =2sin^2\frac{ x }{ 2 } }[/math]
[math]\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}[/math]

Автор:  IgorBritva [ 22 янв 2014, 18:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

[math]\lim_{x\rightarrow 0}{(cos(2\pi +x))^\cot(2x)}=\lim_{x\rightarrow 0}{(1+(cos(x)-1)^\cot(2x)}=\lim_{x\rightarrow 0}{(1+(cos(x)-1)^\frac{1}{cos(x)-1})^{(cos(x)-1)*\cot(2x)}}=e^{({\lim_{x\rightarrow 0}}{(cos(x)-1)*\cot(2x)})}[/math]

Помогите пожалуйста показатель степени преобразовать. У меня получилось дойти до такого вида :
[math]\lim_{x\rightarrow 0}{(cos(x)-1)*\cot(2x)}=-{\lim_{x\rightarrow 0}}{2sin^2(x/2)}*{\frac{1-2sin^2(x)}{2cos(x)*sin(x)}}[/math]

Автор:  radix [ 22 янв 2014, 21:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Котангенс представляем как отношение косинуса к синусу. Числитель не трогаем. Синус в знаменателе разложите по формуле синуса двойного угла. А потом тот синус, что остался в знаменателе ещё раз. Синус х/2 и сократится. Неопределённость исчезнет.

Автор:  IgorBritva [ 22 янв 2014, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Каким таким образом еще можно представить sinx ?

Автор:  radix [ 22 янв 2014, 23:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

[math]-2sin^2\frac{ x }{ 2 } \cdot \frac{ cos2x }{ sin2x }=[/math]
[math]-2sin^2\frac{ x }{ 2 } \cdot \frac{ cos2x }{ 2\sin{x}\cos{x} }=[/math]
[math]-2sin^2\frac{ x }{ 2 } \cdot \frac{ cos2x }{ 4\sin{\frac{ x }{ 2 } }\cos{\frac{ x }{ 2 } } \cos{x} }=[/math]
А теперь сокращаем:
[math]=\frac{ -sin\frac{ x }{ 2 }cos2x }{ 2cos\frac{ x }{ 2 } \cos{x} }[/math]
При х, стремящемся к нулю, стремится к нулю.

Автор:  IgorBritva [ 23 янв 2014, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

radix, большое вам спасибо за помощь. Ответ в конечном виде будет выглятеть так?
Изображение

Автор:  radix [ 23 янв 2014, 19:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Не вполне понятно, зачем нужны красные стрелки ->0. Мне кажется, лучше показать, что косинусы стремятся к 1, а синус - к нулю. То, что х стремится к нулю и так очевидно. Это, разумеется, не ошибка. Просто не очень наглядно, по-моему.
Ответ верный. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/