Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти предел функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=29321
Страница 2 из 3

Автор:  SHABAN [ 19 дек 2013, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Ну да... Все просто...
Оказывается, что [math]\lim_{x \to 0}[/math][math]\frac{ \sin{x} }{ x }[/math]=1 -- первый замечательный предел, и
[math]\lim_{x \to 0}[/math][math]\frac{ x }{ \sin{x} }[/math]=1 -- тоже первый замечательный предел.
Значит,
[math]\lim_{x \to 0}[/math][math]\frac{ \arcsin{5x} }{ 3x }[/math]=[math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math]; далее делаем замену y=[math]\arcsin{5x}[/math] [math]\Rightarrow[/math] 5x=[math]\sin{y}[/math];
значит,
[math]\lim_{y \to 0}[/math][math]\frac{ y }{ \frac{ 3 }{ 5 } \sin{y} }[/math] = [math]\frac{ 5 }{ 3 }[/math][math]\lim_{y \to 0}[/math][math]\frac{ y }{ \sin{y} }[/math] = [math]\frac{ 5 }{ 3 }[/math] [math]\cdot[/math] 1 = [math]\frac{ 5 }{ 3 }[/math].

Так все верно?

Автор:  radix [ 19 дек 2013, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Да. :)

Автор:  SHABAN [ 19 дек 2013, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Тогда проверьте, пожалуйста, второй пример:

[math]\lim_{x \to - \infty }[/math](x-4) [math]\cdot[/math] (ln (2-3x)-ln(5-3x)) = [math]\lim_{x \to - \infty }[/math](x-4) [math]\cdot[/math] ln[math]\frac{ 2-3x }{ 5-3x }[/math] = [math]\lim_{x \to - \infty }[/math]ln[math]\left( \frac{ 2-3x }{ 5-3x } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( \frac{ 5-3x-3 }{ 5-3x } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( 1-\frac{ 3 }{ 5-3x } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( 1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( \left( 1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } } \right) ^{\frac{ 5-3x }{ -3 } } \right)[/math][math]^{\frac{ -3 }{ 5-3x }(x-4)}[/math] = e[math]^{-3\lim_{x \to -\infty } \frac{ x-4 }{ 5-3x } }[/math] = e[math]^{-3\lim_{x \to -\infty }\frac{ 1- \frac{ 4 }{ x } }{ -3+\frac{ 5 }{ x } } }[/math] = e[math]^{-3 \cdot \left( -\frac{ 1 }{ 3 } \right) }[/math] = e.


P. S. Почему-то в конце показатели опустились...

Автор:  radix [ 19 дек 2013, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Запись, которая читается как [math]e-3[/math] (в последней строке у Вас) должна выглядеть [math]e \cdot (-3)[/math]
Скобочки поставьте. Остальное, вроде, верно.

Автор:  SHABAN [ 19 дек 2013, 23:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

radix писал(а):
Запись, которая читается как [math]e-3[/math] (в последней строке у Вас) должна выглядеть [math]e \cdot (-3)[/math]
Скобочки поставьте. Остальное, вроде, верно.


-3.... -- это степень

Автор:  radix [ 19 дек 2013, 23:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Я это вижу так:
[math]\lim_{x \to -\infty } \ln{ \left( \left( 1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } } \right) ^{\frac{ 5-3x }{ -3 } } \right)^{\frac{ -3 }{ 5-3x }(x-4)} =[/math]
[math]=\lim_{x \to -\infty } \left( \frac{ -3(x-4) }{ 5-3x } \cdot \ln{\left(1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } \right)^{\frac{ 5-3x }{ -3 } } } \right)[/math]
[math]=e \cdot \lim_{x \to -\infty }\frac{ -3(x-4) }{ 5-3x } =...[/math]

Автор:  SHABAN [ 20 дек 2013, 08:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Нет, [math]^{\lim_{x \to -\infty } ...}[/math] -- это показатель степени...

Автор:  Yurik [ 20 дек 2013, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Сделайте замену, всё будет гораздо понятнее.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 4} \right)\cdot\ln \frac{{2 - 3x}}{{5 - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - t - 4} \right)\cdot\ln \frac{{2 + 3t}}{{5 + 3t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \ln {\left( {1 + \frac{{ - 3}}{{5 + 3t}}} \right)^{ - t - 4}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \ln {\left( {1 + \frac{{ - 3}}{{5 + 3t}}} \right)^{\frac{{5 + 3t}}{{ - 3}} \cdot \frac{{3t + 12}}{{5 + 3t}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \ln {e^{\frac{{3t + 12}}{{5 + 3t}}}} = \ln {e^1} = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  radix [ 20 дек 2013, 12:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Yurik, по-моему, "минус" в бесконечности не мешает и не усложняет.

SHABAN писал(а):
Нет, [math]^{\lim_{x \to -\infty } ...}[/math] -- это показатель степени...

Скажу честно - не знаю, можно ли предел "поднять" в показатель степени. Я не помню такой теоремы.
Но показатель степени можно"спустить" перед логарифм и сделать множителем. И для произведения есть теорема, что предел произведения равен произведению пределов множителей.

Автор:  Yurik [ 20 дек 2013, 12:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

radix писал(а):
не знаю, можно ли предел "поднять" в показатель степени

Я тоже не помню, но знаю, что предел непрерывной функции равен функции предела.
В нашем случае [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{u\left( x \right)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } u\left( x \right)}}[/math]

radix писал(а):
по-моему, "минус" в бесконечности не мешает и не усложняет.


Поэтому и не получается правильный ответ? А потом что-то я не помню вариации второго замечательного, где бы переменная стремилась к минус бесконечности.

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/