| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти предел функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=29321 |
Страница 2 из 3 |
| Автор: | SHABAN [ 19 дек 2013, 22:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Ну да... Все просто... Оказывается, что [math]\lim_{x \to 0}[/math][math]\frac{ \sin{x} }{ x }[/math]=1 -- первый замечательный предел, и [math]\lim_{x \to 0}[/math][math]\frac{ x }{ \sin{x} }[/math]=1 -- тоже первый замечательный предел. Значит, [math]\lim_{x \to 0}[/math][math]\frac{ \arcsin{5x} }{ 3x }[/math]=[math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math]; далее делаем замену y=[math]\arcsin{5x}[/math] [math]\Rightarrow[/math] 5x=[math]\sin{y}[/math]; значит, [math]\lim_{y \to 0}[/math][math]\frac{ y }{ \frac{ 3 }{ 5 } \sin{y} }[/math] = [math]\frac{ 5 }{ 3 }[/math][math]\lim_{y \to 0}[/math][math]\frac{ y }{ \sin{y} }[/math] = [math]\frac{ 5 }{ 3 }[/math] [math]\cdot[/math] 1 = [math]\frac{ 5 }{ 3 }[/math]. Так все верно? |
|
| Автор: | radix [ 19 дек 2013, 22:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Да.
|
|
| Автор: | SHABAN [ 19 дек 2013, 23:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Тогда проверьте, пожалуйста, второй пример: [math]\lim_{x \to - \infty }[/math](x-4) [math]\cdot[/math] (ln (2-3x)-ln(5-3x)) = [math]\lim_{x \to - \infty }[/math](x-4) [math]\cdot[/math] ln[math]\frac{ 2-3x }{ 5-3x }[/math] = [math]\lim_{x \to - \infty }[/math]ln[math]\left( \frac{ 2-3x }{ 5-3x } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( \frac{ 5-3x-3 }{ 5-3x } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( 1-\frac{ 3 }{ 5-3x } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( 1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } } \right)[/math][math]^{x-4}[/math] = [math]\lim_{x \to -\infty }[/math]ln[math]\left( \left( 1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } } \right) ^{\frac{ 5-3x }{ -3 } } \right)[/math][math]^{\frac{ -3 }{ 5-3x }(x-4)}[/math] = e[math]^{-3\lim_{x \to -\infty } \frac{ x-4 }{ 5-3x } }[/math] = e[math]^{-3\lim_{x \to -\infty }\frac{ 1- \frac{ 4 }{ x } }{ -3+\frac{ 5 }{ x } } }[/math] = e[math]^{-3 \cdot \left( -\frac{ 1 }{ 3 } \right) }[/math] = e. P. S. Почему-то в конце показатели опустились... |
|
| Автор: | radix [ 19 дек 2013, 23:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Запись, которая читается как [math]e-3[/math] (в последней строке у Вас) должна выглядеть [math]e \cdot (-3)[/math] Скобочки поставьте. Остальное, вроде, верно. |
|
| Автор: | SHABAN [ 19 дек 2013, 23:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
radix писал(а): Запись, которая читается как [math]e-3[/math] (в последней строке у Вас) должна выглядеть [math]e \cdot (-3)[/math] Скобочки поставьте. Остальное, вроде, верно. -3.... -- это степень |
|
| Автор: | radix [ 19 дек 2013, 23:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Я это вижу так: [math]\lim_{x \to -\infty } \ln{ \left( \left( 1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } } \right) ^{\frac{ 5-3x }{ -3 } } \right)^{\frac{ -3 }{ 5-3x }(x-4)} =[/math] [math]=\lim_{x \to -\infty } \left( \frac{ -3(x-4) }{ 5-3x } \cdot \ln{\left(1+\frac{ 1 }{ \frac{ 5-3x }{ -3 } \right)^{\frac{ 5-3x }{ -3 } } } \right)[/math] [math]=e \cdot \lim_{x \to -\infty }\frac{ -3(x-4) }{ 5-3x } =...[/math] |
|
| Автор: | SHABAN [ 20 дек 2013, 08:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Нет, [math]^{\lim_{x \to -\infty } ...}[/math] -- это показатель степени... |
|
| Автор: | Yurik [ 20 дек 2013, 08:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Сделайте замену, всё будет гораздо понятнее. [math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 4} \right)\cdot\ln \frac{{2 - 3x}}{{5 - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - t - 4} \right)\cdot\ln \frac{{2 + 3t}}{{5 + 3t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \ln {\left( {1 + \frac{{ - 3}}{{5 + 3t}}} \right)^{ - t - 4}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \ln {\left( {1 + \frac{{ - 3}}{{5 + 3t}}} \right)^{\frac{{5 + 3t}}{{ - 3}} \cdot \frac{{3t + 12}}{{5 + 3t}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \ln {e^{\frac{{3t + 12}}{{5 + 3t}}}} = \ln {e^1} = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | radix [ 20 дек 2013, 12:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Yurik, по-моему, "минус" в бесконечности не мешает и не усложняет. SHABAN писал(а): Нет, [math]^{\lim_{x \to -\infty } ...}[/math] -- это показатель степени... Скажу честно - не знаю, можно ли предел "поднять" в показатель степени. Я не помню такой теоремы. Но показатель степени можно"спустить" перед логарифм и сделать множителем. И для произведения есть теорема, что предел произведения равен произведению пределов множителей. |
|
| Автор: | Yurik [ 20 дек 2013, 12:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
radix писал(а): не знаю, можно ли предел "поднять" в показатель степени Я тоже не помню, но знаю, что предел непрерывной функции равен функции предела. В нашем случае [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{u\left( x \right)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } u\left( x \right)}}[/math] radix писал(а): по-моему, "минус" в бесконечности не мешает и не усложняет. Поэтому и не получается правильный ответ? А потом что-то я не помню вариации второго замечательного, где бы переменная стремилась к минус бесконечности. |
|
| Страница 2 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|