Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=29060
Страница 1 из 2

Автор:  debil [ 15 дек 2013, 16:21 ]
Заголовок сообщения:  Предел функции

[math]\lim_{x \to 0}(2-cosx)^\frac{ 1 }{ x^2 }[/math]

Автор:  Yurik [ 15 дек 2013, 16:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

Не можете его свести ко второму замечательному? Вот.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(2 - \cos x)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 1 - \cos x)^{\frac{1}{{1 - \cos x}}\frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}}}} = ...[/math]

Автор:  Avgust [ 15 дек 2013, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

[math]=\lim \limits_{x \to 0}[1+1-\cos(x)]^{x^{-2}}=\lim \limits_{x \to 0}(1+\frac 12 x^2)^{x^{-2}}=\sqrt{e}[/math]

Автор:  debil [ 15 дек 2013, 16:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

Вот моё решение:[math]\lim_{x \to 0}(1+(1-cosx))^{\frac{ 1 }{ x^2 } }={1^ \infty }=\lim_{x \to 0}(1+2sin^{2}\frac{ x }{2 })^ \frac{ 1 }{ x^2 }=[/math]((1+б.м.)^1/б.м.=e)=?

Автор:  mad_math [ 15 дек 2013, 16:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

Avgust писал(а):
[math]=\lim \limits_{x \to 0}[1+1-\cos(x)]^{x^{-2}}=\lim \limits_{x \to 0}(1+\frac 12 x^2)^{x^{-2}}=\sqrt{e}[/math]
А сколько раз уже было говорено, что не стоит применять ЭБМ в суммах и разностях...

Автор:  Yurik [ 15 дек 2013, 16:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

debil писал(а):
Вот моё решение:

Пусть будет Ваше, но доводить-то его нужно до ума.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + (1 - \cos x))^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 2{\sin ^2}\frac{x}{2})^{\frac{1}{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}\frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}}}} = ...[/math]

Автор:  debil [ 15 дек 2013, 17:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

А дальше в степени ЭБМ применять?(в числителе степени?)

Автор:  Avgust [ 15 дек 2013, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

mad_math писал(а):
А сколько раз уже было говорено, что не стоит применять ЭБМ в суммах и разностях...
Надо знать, когда можно, а когда ни-ни. В данном случае можно. Доказательство - верный ответ.
Я делаю так:

[math](2-\cos(x))'=\sin(x)[/math]

[math](1+0.5x^2)'=x[/math]

В точке x=0 это эквивалентные бесконечно малые функции. Следовательно, преобразование верное.

Автор:  debil [ 15 дек 2013, 19:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

Ведь так?

Автор:  Yyyyrrrr [ 16 дек 2013, 11:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции

Avgust писал(а):
Надо знать, когда можно, а когда ни-ни. В данном случае можно. Доказательство - верный ответ.

Знать, это как? Приведите хоть одну теорему или правило, говорящее, что так можно.
А доказательство Ваше неверное - эквивалентность бесконечно малых доказывается через предел их отношения, который должен быть равен единице.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/