Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Лопиталь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28942
Страница 1 из 2

Автор:  kon23 [ 12 дек 2013, 22:36 ]
Заголовок сообщения:  Лопиталь

[math]\lim_{x \to \frac{ \pi }{ 2 } } \frac{\frac{ \pi }{ 2 } - \arcsin{\frac{ 2x }{ \pi } }}{ \cos{x} }[/math]
Вообщем вот такая задачка, у меня получилась бесконечность,но хотелось бы свериться с Вашим ответом.

Автор:  sergebsl [ 12 дек 2013, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

[/math] (arccos 2x/pi)'=-(2/pi)/sqrt(1-(2x/pi))

[/math]

Автор:  sergebsl [ 12 дек 2013, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

[/math] (arccos 2x/pi)'=-(2/pi)/sqrt(1-(2x/pi)^2)

(cos x)'=-sin x

в итоге получаем

(2/пи)* син х / корень (1-(2х/пи)^2)

что при х-> пи/2
2/пи * 1/0 т.е. инфинити
[/math]

Автор:  sergebsl [ 12 дек 2013, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

надеюсь, понял :))

Автор:  kon23 [ 13 дек 2013, 16:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

sergebsl писал(а):
надеюсь, понял :))

Спасибо,но не совсем понял,если можно подробнее

Автор:  Minotaur [ 17 дек 2013, 08:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

Ваш предел не существует, потому что...
[math]\begin{aligned}\lim_{x\to\frac{\pi}2}\frac{\frac{\pi}2-\arcsin{\frac{2x}{\pi}}}{\cos x }&=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to\frac{\pi}2}\frac{\left(\frac{\pi}2-\arcsin{\frac{2x}{\pi}}\right)'}{\left(\cos x\right)'}=\lim_{x\to\frac{\pi}2}\frac{-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{\pi^2}}}}{-\sin x}=\\&=\lim_{x\to\frac{\pi}2}\frac{2}{\sin x\sqrt{\pi^2-4x^2}}\end{aligned}[/math]

... не равны верхний и нижний пределы: [math]\boxed{\begin{aligned}\varlimsup_{x\to\frac{\pi}2}\sqrt{\pi^2-4x^2}\ne\varliminf_{x\to\frac{\pi}2}\sqrt{\pi^2-4x^2}\end{aligned}}[/math]

Автор:  Yurik [ 17 дек 2013, 09:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

Minotaur писал(а):
Ваш предел не существует,

Существует и равен [math]\infty[/math] при [math]x \to \frac{\pi}{2}-0[/math].

PS. Ну, если считать, что бесконечность есть существование предела.

Автор:  Human [ 17 дек 2013, 09:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

Minotaur, из вида функции следует, что имеется в виду односторонний предел [math]x\to\frac{\pi}2-[/math], поскольку арксинус не определён в правой окрестности точки [math]\frac{\pi}2[/math].

Автор:  Minotaur [ 17 дек 2013, 11:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

Yurik писал(а):
Minotaur писал(а):
Ваш предел не существует,

Существует и равен [math]\infty[/math] при [math]x \to \frac{\pi}{2}-0[/math].

PS. Ну, если считать, что бесконечность есть существование предела.

Существуют оба односторонних предела, но они не равны.
Это означает, что предела в точке не существует.

Автор:  Minotaur [ 17 дек 2013, 11:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Лопиталь

Human писал(а):
Minotaur, из вида функции следует, что имеется в виду односторонний предел [math]x\to\frac{\pi}2-[/math], поскольку арксинус не определён в правой окрестности точки [math]\frac{\pi}2[/math].

Из "вида" функции не следует абсолютно ничего, и если в условии не сказано другое, необходимо проводить полный анализ, а не высказывать домыслы.
"Не определен в правой окрестности точки" - в вещественном смысле. Смотрите на вещи шире :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/