Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел функций
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28920
Страница 1 из 1

Автор:  lllulll [ 12 дек 2013, 17:13 ]
Заголовок сообщения:  Предел функций

lim((1+sinxcosax)/(1+sinxcosbx))^ctg^3x при х стремящимся к 0. При чем а=альфа, b=бета
Решая этот предел я пришла:lim (sin^4x(cosax-cosbx))/(cos^3x(1+sinxcosbx))
Что дальше делать????
Ещё вот один предел: lim (sqrt(1+sinx-1))/(e^(x^2)-1) при x стремящимся к 0

lim ln(1+2^x)ln(1+3/x) при х стремящимся к +бесконечности

Автор:  Andy [ 12 дек 2013, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

lllulll
Запишите для начала правильно условия заданий. Используйте или редактор формул или картинки с текстом.

Автор:  Minotaur [ 16 дек 2013, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

1.
[math]\large\begin{aligned}\lim_{x\to\0}\left(\frac{1+\sin x\cos\alpha x}{1+\sin x\cos\beta x}\right)^{\operatorname{ctg}^3x}&=e^{\lim\limits_{x\to0}\ln\left(\frac{1+\sin x\cos\alpha x}{1+\sin x\cos\beta x}\right)^{\frac{\cos^3x}{\sin^3x}}}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\sin^3x}\left(\ln\left(1+\sin x\cos\alpha x\right)-\ln{\left(1+\sin x\cos\beta x}\right)\right )}=\\&=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\sin^3x}\left[\frac{\ln\left(1+\sin x\cos\alpha x\right)}{\sin x\cos\alpha x}\cdot\sin x\cos\alpha x-\frac{\ln{\left(1+\sin x\cos\beta x}\right)}{\sin x\cos\beta x}\cdot\sin x\cos\beta x\right]}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\sin^2x}\left[\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\left(1+\sin x\cos\alpha x\right)}{\sin x\cos\alpha x}\lim\limits_{x\to0}\cos\alpha x-\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln{\left(1+\sin x\cos\beta x}\right)}{\sin x\cos\beta x}\lim\limits_{x\to0}\cos\beta x\right]}=\\&=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\sin^2x}\left(\lim\limits_{x\to0}\cos\alpha x-\lim\limits_{x\to0}\cos\beta x\right)}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\sin^2x}\left(\cos\alpha x-\cos\beta x\right)}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\sin^2x}\left(-2\sin\frac{\alpha x+\beta x}{2}\sin\frac{\alpha x-\beta x}{2}\right)}=\\&=e^{-2\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}\cdot\frac{1}{x^2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}x\sin\frac{\alpha -\beta}{2}x}=e^{-2\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos^3x}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}x}{\frac{\alpha+\beta}{2}x}\cdot\frac{\alpha -\beta}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha -\beta}{2}x}{\frac{\alpha -\beta}{2}x}}=e^{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}\end{aligned}[/math]

В решении использованы:
- первый замечательный предел;
- следствие из второго замечательного предела: [math]\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1[/math]
- ограниченность функции [math]\cos x[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/