Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Второй замечательный предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28809
Страница 1 из 1

Автор:  RikkiTan1 [ 10 дек 2013, 20:49 ]
Заголовок сообщения:  Второй замечательный предел

Доброго времени суток! Подскажите, пожалуйста, как можно преобразовать выражение
[math](3^x+x)[/math]

в пределе
[math]\lim_{x \to 0}(3^x+x)^\frac{ 1 }{ sin(x) }[/math]

Пробовал представить в виде [math](1+3^x+x-1)[/math], но в степени, все равно, оставалась бесконечность.

Автор:  venjar [ 10 дек 2013, 21:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

RikkiTan1 писал(а):
Пробовал представить в виде [math](1+3^x+x-1)[/math]...


Все верно: [math](1+(3^x+x-1))[/math]


RikkiTan1 писал(а):
... но в степени, все равно, оставалась бесконечность.


Абсолютно непонятное утверждение. :(

Автор:  mad_math [ 10 дек 2013, 21:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

[math]3^x+x=x\cdot\left(1+\frac{3^x}{x}\right)[/math]

Автор:  mad_math [ 10 дек 2013, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

Или
[math](x+3^x)^{\frac{1}{\sin{x}}}=\operatorname{exp}\left(\ln{(x+3^x)^{\frac{1}{\sin{x}}}}\right)=\operatorname{exp}\left(\frac{\ln{(x+3^x)}}{\sin{x}}}}\right)[/math]

Автор:  Yurik [ 10 дек 2013, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {({3^x} + x)^{\frac{1}{{\sin x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + {3^x} + x - 1)^{\frac{1}{{{3^x} + x - 1}}\frac{{{3^x} + x - 1}}{{\sin x}}}} = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{3^x} + x - 1}}{{\sin x}}} \right] = \hfill \\ = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{3^x} - 1}}{{\sin x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}} \right] = \exp \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\ln 3}}{{\sin x}} + 1} \right] = {e^{\ln 3 + 1}} = {e^{\ln 3e}} = 3e \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  RikkiTan1 [ 10 дек 2013, 21:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

Хм, во всех своих решения у меня всегда оставалось [math]\frac{ (3^x-1) }{ \sin(x) }[/math]. Каким свойством вы пользуетесь, чтобы преобразовать [math]3^x-1[/math] к виду [math]x\ln(3)[/math]?

Автор:  Yurik [ 10 дек 2013, 21:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

[math]3^x-1\,\, \sim \,\,x \ln3[/math]

Автор:  RikkiTan1 [ 10 дек 2013, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Второй замечательный предел

Спасибо, очень помогли!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/