| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел числовой последовательности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28304 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | mxkrbk [ 29 ноя 2013, 09:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел числовой последовательности |
▼
Подскажите, что я не так делаю, вернее, как перейти от последнего преобразования к ответу. 5 часов уже сижу над этим, сил нет. Во втором преобразовании пара опечаток, не обращайся внимания, далее все в порядке. |
|
| Автор: | Avgust [ 29 ноя 2013, 09:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Гораздо проще через ЭБМ (делов на 2 минуты): [math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{\left [1+\left (t+t^2+t^3 \right ) \right ]^{\frac 13}}{t}= \lim \limits_{t\to 0}\frac{\frac 13 \left (t+t^2+t^3 \right ) }{t}=\frac 13[/math] |
|
| Автор: | venjar [ 29 ноя 2013, 09:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
mxkrbk писал(а): Подскажите, что я не так делаю.. В последней дроби (перед 1/3) знаменатель не верен. Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого. С самого начала делали не то. Надо умножать числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы, чтобы в числителе образовалась разность кубов. |
|
| Автор: | andrei [ 29 ноя 2013, 09:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Так нужно домножать,чтобы получилась разность кубов. [math]\sqrt[3]{(n^{3}+n^{2}+n+1)^{2}}+\sqrt[3]{(n^{3}+n^{2}+n+1)}+1[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 29 ноя 2013, 10:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
| Автор: | Avgust [ 29 ноя 2013, 10:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Был в теплых краях. |
|
| Автор: | mxkrbk [ 29 ноя 2013, 10:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Avgust писал(а): Гораздо проще через ЭБМ (делов на 2 минуты): [math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{\left [1+\left (t+t^2+t^3 \right ) \right ]^{\frac 13}}{t}= \lim \limits_{t\to 0}\frac{\frac 13 \left (t+t^2+t^3 \right ) }{t}=\frac 13[/math] Дело в том, что там t -> inf, а не к нулю, как у Вас. Объясните, пожалуйста, видимо я чего-то не понимаю. andrei, благодарю, сейчас попробую пересчитать. venjar, я все действия через вольфрам сверял, дабы ответ не изменялся, поэтому и считал, что все делаю правильно и эквивалентно |
|
| Автор: | Yurik [ 29 ноя 2013, 10:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
mxkrbk писал(а): Дело в том, что там t -> inf, а не к нулю Можно и без замены, вынексите за скобку [math]n[/math] и замените второй сомножитель эквивалентной бесконечно малой. [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} + n + 1}} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^3}}}}} - 1} \right)} \right] = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n\frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^3}}}} \right] = \frac{1}{3}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 29 ноя 2013, 21:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
mxkrbk писал(а): Дело в том, что там t -> inf, а не к нулю, как у Вас. Объясните, пожалуйста, видимо я чего-то не понимаю. Я сделал такую же замену, как Вы - в своем втором варианте:[math]x=\frac 1t[/math] Пример этот специально так и составлен, чтобы применить ЭБМ [math](1+u)^k-1 \sim k \cdot u[/math] при [math]u \to 0[/math] Это позволяет избежать делать громоздкие действия с сомножителями. Посмотрите, короче, чем мое решение, никто не дал. |
|
| Автор: | andrei [ 29 ноя 2013, 22:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел числовой последовательности |
Ещё как вариант [math]n^{3}+n^{2}+n+1=\frac{ n^{4}-1 }{ n-1 } \Rightarrow \sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+n+1}-n=\frac{ \sqrt[3]{n^{4}-1}-\sqrt[3]{n^{4}-n^{3}} }{ \sqrt[3]{n-1} } ...[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|