Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел числовой последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28304
Страница 1 из 2

Автор:  mxkrbk [ 29 ноя 2013, 09:35 ]
Заголовок сообщения:  Предел числовой последовательности

Изображение

Подскажите, что я не так делаю, вернее, как перейти от последнего преобразования к ответу.
5 часов уже сижу над этим, сил нет.
Во втором преобразовании пара опечаток, не обращайся внимания, далее все в порядке.

Автор:  Avgust [ 29 ноя 2013, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Гораздо проще через ЭБМ (делов на 2 минуты):

[math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{\left [1+\left (t+t^2+t^3 \right ) \right ]^{\frac 13}}{t}= \lim \limits_{t\to 0}\frac{\frac 13 \left (t+t^2+t^3 \right ) }{t}=\frac 13[/math]

Автор:  venjar [ 29 ноя 2013, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

mxkrbk писал(а):
Подскажите, что я не так делаю..

:shock: В последней дроби (перед 1/3) знаменатель не верен. Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого.
С самого начала делали не то. Надо умножать числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы, чтобы в числителе образовалась разность кубов.

Автор:  andrei [ 29 ноя 2013, 09:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Так нужно домножать,чтобы получилась разность кубов.
[math]\sqrt[3]{(n^{3}+n^{2}+n+1)^{2}}+\sqrt[3]{(n^{3}+n^{2}+n+1)}+1[/math]

Автор:  Yurik [ 29 ноя 2013, 10:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

А я-то думаю, куда Avgust запропастился, даже скучновато стало. :)

Автор:  Avgust [ 29 ноя 2013, 10:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Был в теплых краях.

Автор:  mxkrbk [ 29 ноя 2013, 10:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Avgust писал(а):
Гораздо проще через ЭБМ (делов на 2 минуты):

[math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{\left [1+\left (t+t^2+t^3 \right ) \right ]^{\frac 13}}{t}= \lim \limits_{t\to 0}\frac{\frac 13 \left (t+t^2+t^3 \right ) }{t}=\frac 13[/math]


Дело в том, что там t -> inf, а не к нулю, как у Вас. Объясните, пожалуйста, видимо я чего-то не понимаю.

andrei, благодарю, сейчас попробую пересчитать.

venjar, я все действия через вольфрам сверял, дабы ответ не изменялся, поэтому и считал, что все делаю правильно и эквивалентно

Автор:  Yurik [ 29 ноя 2013, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

mxkrbk писал(а):
Дело в том, что там t -> inf, а не к нулю

Можно и без замены, вынексите за скобку [math]n[/math] и замените второй сомножитель эквивалентной бесконечно малой.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} + n + 1}} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^3}}}}} - 1} \right)} \right] = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n\frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^3}}}} \right] = \frac{1}{3}[/math]

Автор:  Avgust [ 29 ноя 2013, 21:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

mxkrbk писал(а):
Дело в том, что там t -> inf, а не к нулю, как у Вас. Объясните, пожалуйста, видимо я чего-то не понимаю.
Я сделал такую же замену, как Вы - в своем втором варианте:

[math]x=\frac 1t[/math]

Пример этот специально так и составлен, чтобы применить ЭБМ

[math](1+u)^k-1 \sim k \cdot u[/math] при [math]u \to 0[/math]

Это позволяет избежать делать громоздкие действия с сомножителями. Посмотрите, короче, чем мое решение, никто не дал.

Автор:  andrei [ 29 ноя 2013, 22:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел числовой последовательности

Ещё как вариант [math]n^{3}+n^{2}+n+1=\frac{ n^{4}-1 }{ n-1 } \Rightarrow \sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+n+1}-n=\frac{ \sqrt[3]{n^{4}-1}-\sqrt[3]{n^{4}-n^{3}} }{ \sqrt[3]{n-1} } ...[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/