Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28062
Страница 1 из 1

Автор:  Indiway [ 21 ноя 2013, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x

Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением следующего логарифма без использования правила Лопиталя, последний остался, ступор прямо какой-то!

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^{x}-1 }{ \ln{(1+2x)} }[/math]

Все что определил - это что неопределенность типа [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math] Чувствуется, что нужно свести ко 2 замечательному пределу, но совершенно не представляю какие преобразования проводить!

Автор:  mad_math [ 21 ноя 2013, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x

[math]\lim{x\to 0}\frac{\ln{(1-x)}}{x}=1,\,\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{\ln{a}\cdot x}=1[/math]
Вам нужно сделать так, чтобы в числителе появилось [math]-2x[/math], а в знаменателе - [math]x\ln{2}[/math]. Обычно это достигается умножением числителя и знаменателя на эти выражения. В данном случае достаточно умножить числитель и знаменатель на [math]-2x\ln{2}[/math].

Автор:  Indiway [ 21 ноя 2013, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x

Как я понял умножением числителя и знаменателя на [math]-2x\ln{2}[/math] мы приведем предел под эти следствия?
Я должен получить [math]\frac{ \ln{2} }{2 }[/math] согласно программе, но как мне преобразовать это все?
Ведь получается: [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^{x}-1*(-2x)*(\ln{2}) }{ \(ln({1+2x}) *(-2x)*(\ln{2} ) }[/math] я правильно мыслю?

Как мне применить [math]\lim_{x \to 0} \frac{ (\ln{1-x}) }{ x } =1[/math] и [math]\lim_{x \to 0} \frac{ a^x-1 }{ \ln{a}*x } =1[/math] ?

Автор:  mad_math [ 21 ноя 2013, 20:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x

Извините. Я неверно написала одно следствие: [math]\lim_{x\to 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}=1[/math], т.е. числитель и знаменатель нужно умножить на [math]2x\ln{2}[/math] - без минуса.

Indiway писал(а):
Ведь получается: [math]\lim_{x \to 0}\frac{2^{x}-1*(2x)*(\ln{2})}{\(ln({1+2x}) *(-2x)*(\ln{2})}[/math] я правильно мыслю?
Получается
[math]\lim_{x \to 0}\frac{(2^{x}-1)\cdot(-2x)\cdot(\ln{2})}{\(\ln({1+2x}) \cdot 2\cdot(x\ln{2})}[/math]

[math]\ln{(1+2x)}[/math] в числителе и [math]2x[/math] в знаменателе стремятся к 1, [math](2^x-1)[/math] в числителе и [math]x\ln{2}[/math] в знаменателе стремятся к 1.

Автор:  Wersel [ 21 ноя 2013, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x

[math]2^x-1 \sim x \ln(2)[/math] при [math]x \to 0[/math]

[math]\ln(1+2x) \sim 2x[/math] при [math]x \to 0[/math]

Сокращаете на [math]x[/math], и получаете [math]\frac{\ln(2)}{2}[/math]

Автор:  Indiway [ 21 ноя 2013, 20:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x

Большое Вам спасибо за подсказки! Вроде бы сдвинулись мысли сместа, посмотрите пожалуйста правильно ли нарешал и записал:

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ \ln{(1+2x)} }[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ a^x-1 }{ \ln{a}*x }=1[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ \ln{(1+x)} }{ x }=1[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ \ln{1+2x} }= \frac{(2^x-1)*(2x)*(\ln{2}) }{ \ln{(1+2x)} * 2 * (x \ln{2})}[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ x\ln{2} }=1[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ \ln{(1+2x)} }{ 2x }=1[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ \ln{(1+2x)} }=\frac{ \ln{2} }{ 2 }[/math]

А еще я не ошибся исправив [math]-2x[/math] на [math]2x[/math] в числителе на 4 строке расчетов? Ведь при умножении на [math]2x\ln{2}[/math] в том месте знак, вроде бы, не должен измениться?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/