| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=28062 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Indiway [ 21 ноя 2013, 19:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x |
Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением следующего логарифма без использования правила Лопиталя, последний остался, ступор прямо какой-то! [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^{x}-1 }{ \ln{(1+2x)} }[/math] Все что определил - это что неопределенность типа [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math] Чувствуется, что нужно свести ко 2 замечательному пределу, но совершенно не представляю какие преобразования проводить! |
|
| Автор: | mad_math [ 21 ноя 2013, 19:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x |
[math]\lim{x\to 0}\frac{\ln{(1-x)}}{x}=1,\,\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{\ln{a}\cdot x}=1[/math] Вам нужно сделать так, чтобы в числителе появилось [math]-2x[/math], а в знаменателе - [math]x\ln{2}[/math]. Обычно это достигается умножением числителя и знаменателя на эти выражения. В данном случае достаточно умножить числитель и знаменатель на [math]-2x\ln{2}[/math]. |
|
| Автор: | Indiway [ 21 ноя 2013, 20:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x |
Как я понял умножением числителя и знаменателя на [math]-2x\ln{2}[/math] мы приведем предел под эти следствия? Я должен получить [math]\frac{ \ln{2} }{2 }[/math] согласно программе, но как мне преобразовать это все? Ведь получается: [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^{x}-1*(-2x)*(\ln{2}) }{ \(ln({1+2x}) *(-2x)*(\ln{2} ) }[/math] я правильно мыслю? Как мне применить [math]\lim_{x \to 0} \frac{ (\ln{1-x}) }{ x } =1[/math] и [math]\lim_{x \to 0} \frac{ a^x-1 }{ \ln{a}*x } =1[/math] ? |
|
| Автор: | mad_math [ 21 ноя 2013, 20:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x |
Извините. Я неверно написала одно следствие: [math]\lim_{x\to 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}=1[/math], т.е. числитель и знаменатель нужно умножить на [math]2x\ln{2}[/math] - без минуса. Indiway писал(а): Ведь получается: [math]\lim_{x \to 0}\frac{2^{x}-1*(2x)*(\ln{2})}{\(ln({1+2x}) *(-2x)*(\ln{2})}[/math] я правильно мыслю? Получается[math]\lim_{x \to 0}\frac{(2^{x}-1)\cdot(-2x)\cdot(\ln{2})}{\(\ln({1+2x}) \cdot 2\cdot(x\ln{2})}[/math] [math]\ln{(1+2x)}[/math] в числителе и [math]2x[/math] в знаменателе стремятся к 1, [math](2^x-1)[/math] в числителе и [math]x\ln{2}[/math] в знаменателе стремятся к 1. |
|
| Автор: | Wersel [ 21 ноя 2013, 20:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x |
[math]2^x-1 \sim x \ln(2)[/math] при [math]x \to 0[/math] [math]\ln(1+2x) \sim 2x[/math] при [math]x \to 0[/math] Сокращаете на [math]x[/math], и получаете [math]\frac{\ln(2)}{2}[/math] |
|
| Автор: | Indiway [ 21 ноя 2013, 20:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить предел без правила Лопиталя с логарифмом и 2^x |
Большое Вам спасибо за подсказки! Вроде бы сдвинулись мысли сместа, посмотрите пожалуйста правильно ли нарешал и записал: [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ \ln{(1+2x)} }[/math] [math]\lim_{x \to 0} \frac{ a^x-1 }{ \ln{a}*x }=1[/math] [math]\lim_{x \to 0} \frac{ \ln{(1+x)} }{ x }=1[/math] [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ \ln{1+2x} }= \frac{(2^x-1)*(2x)*(\ln{2}) }{ \ln{(1+2x)} * 2 * (x \ln{2})}[/math] [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ x\ln{2} }=1[/math] [math]\lim_{x \to 0} \frac{ \ln{(1+2x)} }{ 2x }=1[/math] [math]\lim_{x \to 0} \frac{ 2^x-1 }{ \ln{(1+2x)} }=\frac{ \ln{2} }{ 2 }[/math] А еще я не ошибся исправив [math]-2x[/math] на [math]2x[/math] в числителе на 4 строке расчетов? Ведь при умножении на [math]2x\ln{2}[/math] в том месте знак, вроде бы, не должен измениться? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|