Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Выпуклая функция
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27881
Страница 1 из 1

Автор:  AlexDi [ 17 ноя 2013, 12:51 ]
Заголовок сообщения:  Выпуклая функция

Показать, что если выпуклая функция [math]{f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] ограничена, то она постоянна.
Подскажите, с помощью чего это можно показать?
Спасибо.

Автор:  SzaryWilk [ 19 ноя 2013, 03:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выпуклая функция

Доказательство от противного. Если [math]f[/math] не постоянна, то найдутся [math]a, b \in\mathbb{R}[/math] такие, что [math]f(a)\neq f(b)[/math]. Не теряя общности можем предположить, что [math]a<b[/math] и [math]f(a)<f(b)[/math].
[math]f[/math]выпукла, поэтому при любом [math]c>b[/math] имеем

[math]f(c)\geq f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)[/math]


Правая часть стремится к бесконечности при [math]c[/math], стремящемся к бесконечности, откуда следует, что функция [math]f[/math]не ограничена. Противоречие. :angel:

Автор:  AlexDi [ 19 ноя 2013, 16:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выпуклая функция

SzaryWilk спасибо :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/