| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел без правила Лопиталя http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27838 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 15 ноя 2013, 21:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел без правила Лопиталя |
[math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}}[/math] Что-то не могу сообразить... [math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln(x+1)} = e^{3 \cdot\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}[/math] |
|
| Автор: | venjar [ 15 ноя 2013, 22:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
Wersel писал(а): Что-то не могу сообразить... Странно. Почему же тогда не попросить помощи? Гордость? Или забыты слова, которые выражают просьбу? |
|
| Автор: | Wersel [ 15 ноя 2013, 22:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
| Автор: | venjar [ 15 ноя 2013, 22:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
| Автор: | Wersel [ 15 ноя 2013, 22:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
| Автор: | venjar [ 15 ноя 2013, 23:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
Wersel писал(а): [math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}}[/math] Что-то не могу сообразить... [math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln(x+1)} = e^{3 \cdot\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}[/math] Вообще-то несколько странный пример. Обычно в таких примерах х стремится к 0. Тогда все понятно. В данном случае хочется показать (без правила Лопиталя), что [math]\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}=0[/math] Можно это сделать, доказав, например, что [math]\ln(x+1) \leqslant \sqrt{x+1}[/math] для достаточно больших х. Это можно доказать, если доказать, например, что для всех [math]t > 2[/math] выполнено [math]\ln(t^2) \leqslant t[/math] . А это в свою очередь, можно доказать из того, что для функции [math]f(t)=\ln(t^2) - t[/math] выполнено: [math]f(2) < 0[/math] и [math]f(t)[/math] убывает для всех [math]t > 2[/math]. Конечно, довольно искусственно. Но ведь и пример странный. |
|
| Автор: | mad_math [ 15 ноя 2013, 23:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
| Автор: | Wersel [ 15 ноя 2013, 23:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел без правила Лопиталя |
venjar Сложно, конечно, но спасибо. mad_math Все верно, исходный предел равен [math]1[/math]. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|