Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел без правила Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27838
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 15 ноя 2013, 21:48 ]
Заголовок сообщения:  Предел без правила Лопиталя

[math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}}[/math]

Что-то не могу сообразить...

[math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln(x+1)} = e^{3 \cdot\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}[/math]

Автор:  venjar [ 15 ноя 2013, 22:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

Wersel писал(а):
Что-то не могу сообразить...



Странно.
Почему же тогда не попросить помощи?
Гордость?
Или забыты слова, которые выражают просьбу?

Автор:  Wersel [ 15 ноя 2013, 22:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

venjar писал(а):
Почему же тогда не попросить помощи?
Гордость?
Или забыты слова, которые выражают просьбу?

Я и прошу помощи. Гордость? Что, простите?
Если Вам кроме оффтопа сказать нечего - проходите дальше, пожалуйста.

Автор:  venjar [ 15 ноя 2013, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

Тогда я Вам напомню слова, которые приличные люди произносят, прося помощи.
Здравствуйте!
Не могу сообразить, как решается этот пример.
Прошу , помогите мне, пожалуйста.

Можете пользоваться в дальнейшем.
Не стоит благодарности.

Автор:  Wersel [ 15 ноя 2013, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

Посмотрите мои остальные темы, возможно, будете удивлены. Тут банально забыл. А ЧСВ Вам не занимать.

Автор:  venjar [ 15 ноя 2013, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

Wersel писал(а):
[math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}}[/math]

Что-то не могу сообразить...

[math]\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln(x+1)} = e^{3 \cdot\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}[/math]


Вообще-то несколько странный пример. Обычно в таких примерах х стремится к 0. Тогда все понятно.
В данном случае хочется показать (без правила Лопиталя), что

[math]\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}=0[/math]
Можно это сделать, доказав, например, что [math]\ln(x+1) \leqslant \sqrt{x+1}[/math] для достаточно больших х.
Это можно доказать, если доказать, например, что для всех [math]t > 2[/math] выполнено [math]\ln(t^2) \leqslant t[/math] .
А это в свою очередь, можно доказать из того, что для функции [math]f(t)=\ln(t^2) - t[/math] выполнено:
[math]f(2) < 0[/math] и [math]f(t)[/math] убывает для всех [math]t > 2[/math].

Конечно, довольно искусственно.
Но ведь и пример странный.

Автор:  mad_math [ 15 ноя 2013, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

А Вольфрам, пролопиталив, выдаёт результат 1.

Автор:  Wersel [ 15 ноя 2013, 23:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без правила Лопиталя

venjar
Сложно, конечно, но спасибо.

mad_math
Все верно, исходный предел равен [math]1[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/