Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование непрерывности функции заданной неявно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27771
Страница 2 из 2

Автор:  Human [ 22 ноя 2013, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Yurik писал(а):
Human
Я же совсем не о том говорил, [math]y>0[/math], как аргумент логарифма.


А я тоже не об этом говорю :) Я говорю о том, что утверждение о непрерывности [math]y(x)[/math], если [math]y=f(x,y)[/math], где [math]f(x,y)[/math] - непрерывная функция двух переменных, неверно, и привёл контрпример.

Автор:  mad_math [ 22 ноя 2013, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Human писал(а):
Разве?
:sorry:

Human
Тогда как поступить с функцией [math]\ln{y}=\operatorname{arctg\frac{x}{y}[/math]? И вообще, что делать в случае неявно заданных функций.

Автор:  Aledio [ 22 ноя 2013, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Я не очень осведомлен в тонкостях работы Маткада. Но если построить график функции x=y*tg(ln(y)), то при изменении правой границы графика с 10 до 30 сначала функция как бы имеет разрыв, а потом нет. В чем прикол?
Изображение
Изображение

Автор:  mad_math [ 22 ноя 2013, 15:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Human писал(а):
Yurik писал(а):
Human
Я же совсем не о том говорил, [math]y>0[/math], как аргумент логарифма.


А я тоже не об этом говорю :) Я говорю о том, что утверждение о непрерывности [math]y(x)[/math], если [math]y=f(x,y)[/math], где [math]f(x,y)[/math] - непрерывная функция двух переменных, неверно, и привёл контрпример.
Дааа... Это я опять сглупила.

Автор:  Human [ 22 ноя 2013, 15:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

mad_math писал(а):
И вообще, что делать в случае неявно заданных функций.


На этот вопрос у меня нет ответа. Но в данном случае можно просто довести до конца Ваше предложение, но только более аккуратно.

Арктангенс меняется в пределах от [math]-\frac{\pi}2[/math] до [math]\frac{\pi}2[/math], значит и левая часть тоже меняется в этих пределах. Тогда [math]y\in\left(e^{-\frac{\pi}2};e^{\frac{\pi}2}\right)[/math]. При таком условии можно безболезненно применить тангенс к обеим частям равенства и выразить [math]x[/math]. Далее можно доказать, что [math]x(y)[/math] непрерывна и строго возрастает на указанном интервале, а затем воспользоваться теоремой об обратной функции.

Автор:  mad_math [ 22 ноя 2013, 15:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Aledio писал(а):
В чем прикол?
В том, что тангенс не при всех значениях аргумента определён.

Автор:  Aledio [ 22 ноя 2013, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

mad_math писал(а):
Aledio писал(а):
В чем прикол?
В том, что тангенс не при всех значениях аргумента определён.

Это понятно. но точка разрыва или есть, или ее нет. Абстрагируясь от данной функции. Можно просто y и x поменять местами и получим обычную явную функцию. Смущает то, что Маткад показывает по-разному, при изменении масштаба осей.

Автор:  mad_math [ 22 ноя 2013, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Aledio писал(а):
Смущает то, что Маткад показывает по-разному, при изменении масштаба осей.
А эта прямая на месте вертикальной асимптоты часто встречается в программах для построения графиков, наверно потому, что они строят по точкам с определённым шагом.

Автор:  Aledio [ 22 ноя 2013, 18:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

mad_math писал(а):
Aledio писал(а):
Смущает то, что Маткад показывает по-разному, при изменении масштаба осей.
А эта прямая на месте вертикальной асимптоты часто встречается в программах для построения графиков, наверно потому, что они строят по точкам с определённым шагом.

Похоже на правду. Но мне покоя то функция все равно не дает. Нашел любопытную книженцию (Вирченко, Ляшко, Швецов Графики функций. Справочник). Так вот там стр. 185 есть пример построения графика функции немного похожей, когда y нельзя выразить как явную зависимость от x. Если в двух словах, то там говорят, что графики функций F(x,y)=0 и F(y,x)=0 симметричны относительно прямой y=x. Там меняется y на x, а x на y, потом получают явную зависимость y(x). Строят ее, а график исходной функции получают симметрическим отображением относительно прямой y=x. Этот прием в принцип применим и в данном случае. Но если функция на рисунке выше имеет разрыв, то и исходная тоже будет иметь разрыв, ведь она - симметрическое отображение. Возникает вопрос как определить точку разрыва и показать, что она таковой является. Алгоритм, предложенный Human, подойдет только в случае, если функция непрерывна.

Автор:  mad_math [ 22 ноя 2013, 18:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Aledio писал(а):
Возникает вопрос как определить точку разрыва и показать, что она таковой является.
У функции [math]\ln{y}=\operatorname{arctg}\frac{x}{y}[/math] нет точек разрыва:
Изображение

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/