Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение предела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27571
Страница 3 из 4

Автор:  Avgust [ 07 ноя 2013, 19:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

1.

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{(1+t)^{\frac 14}-1+(1+t)^{\frac 13}-1}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\frac t2}{\frac t4 + \frac t3}=\frac 67[/math]

Главное - это не применять аватару товарища radix :good:

Автор:  vitalik [ 07 ноя 2013, 19:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

radix писал(а):
vitalik писал(а):
1. [math]\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{x} - 1 }{ \sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} - 2}[/math]
...
в первом у меня все застряло на: [math]\lim_{x \to 1} \frac{ \frac{ 2 }{ \sqrt{x} } -1 }{ \frac{ 4 }{ \sqrt[4]{x^{3} } } + \frac{ 3 }{ \sqrt[3]{x^{2} } } -2 } }[/math]

Здесь этот метод не подходит. Такое деление используется, когда ищем предел на бесконечности. А у Вас х стремится к конкретному числу.


Да я уже понял это, но подставляя 1 я получаю [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math] А то что вы сделали я не делал... Надо больше мне тренироваться просто в подстановке под t. Очень многого не понимаю иногда.

Avgust писал(а):
1.

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{(1+t)^{\frac 14}-1+(1+t)^{\frac 13}-1}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\frac t2}{\frac t4 + \frac t3}=\frac 67[/math]


Здесь вы подставили [math]x = 1+t[/math] я понял, что уже прогресс.


Спасибо огромное!

Автор:  Avgust [ 07 ноя 2013, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

Больше решайте примеров. Тогда придет опыт и будет легко-легко.

Автор:  venjar [ 07 ноя 2013, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

Avgust писал(а):
1.

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{(1+t)^{\frac 14}-1+(1+t)^{\frac 13}-1}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\frac t2}{\frac t4 + \frac t3}=\frac 67[/math]


Нельзя заменять бесконечно малые на эквивалентные в суммах и разностях. Это МОЖЕТ привести к неверному результату. Только в произведениях и частных.

Автор:  radix [ 07 ноя 2013, 20:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

vitalik писал(а):
1. [math]\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{x} - 1 }{ \sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} - 2}[/math]

В этом пределе, наверное, надо домножить числитель и знаменатель на что-то. А на что - :unknown: (обычно домножают на сопряженное)

Автор:  venjar [ 07 ноя 2013, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

Числитель заменить на [math]\frac t2[/math] можно.
А со знаменателем можно поступить по-разному.
Проще всего разложить [math](1+t)^{\frac 14}[/math] и [math](1+t)^{\frac 13}[/math] в ряд Маклорена, удерживая члены до [math]t^2[/math].
Если по-другому, то длиннее, но элементарными средствами.
Отдельно преобразовать [math](1+t)^{\frac 14}-1[/math] и [math](1+t)^{\frac 13}-1[/math] .
Первое домножить и разделить на выражение, чтобы получилась формула типа [math](x-1)(x+1)(x^2+1)=x^4-1[/math] (первая скобка есть как бы изначально).
Второе домножить и разделить на неполный квадрат суммы, дабы получить разность кубов.

Автор:  Avgust [ 07 ноя 2013, 20:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

Если нельзя, но очень сходится с правильным ответом, то можно :D1

Ответ можно получить легко и по правилу Лопиталя. Я как раз с него-то и начал. Потом решил попробовать ЭБМ и, как ни странно, все совпало.

Автор:  Yurik [ 08 ноя 2013, 12:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

venjar писал(а):
Нельзя заменять бесконечно малые на эквивалентные в суммах и разностях. Это МОЖЕТ привести к неверному результату. Только в произведениях и частных.

Совершенно с Вами согласен! (Когда-то меня в это "тыкал" Dr.Watson).
У меня такое решение.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} - 2}} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt[{12}]{x} \hfill \\ t \to 1 \hfill \\ \end{gathered} \right| = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{{t^6} - 1}}{{{t^3} + {t^4} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{\left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^4} + {t^2} + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + 2{t^2} + 2t + 2} \right)}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{\left( {t + 1} \right)\left( {{t^4} + {t^2} + 1} \right)}}{{{t^3} + 2{t^2} + 2t + 2}} = \frac{{2 \cdot 3}}{7} = \frac{6}{7} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Avgust [ 08 ноя 2013, 13:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

Yurik писал(а):
Когда-то меня в это "тыкал" Dr.Watson

Удивительное дело: меня тоже тыкали десятки раз. Но я плевал и почему-то десятки раз получал верные ответы. Значит, есть какие-то условия, при которых применять ЭБМ все же можно.

Автор:  Yurik [ 08 ноя 2013, 13:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела

Avgust писал(а):
Значит, есть какие-то условия, при которых применять ЭБМ все же можно.

Возможно. Но пока мне их не покажут, делать замену в суммах не буду. Считаю такие решения неверными, даже если получен верный результат.

Страница 3 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/