Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27327
Страница 1 из 2

Автор:  d1skort [ 29 окт 2013, 13:39 ]
Заголовок сообщения:  Предел

[math]\lim_{n \to \inf }\frac{\sqrt[n+1]{2n + 3}}{\sqrt[n]{2n+1}}[/math]
Не могу решить. Знаю что предел частного есть частное пределов. Разбиваю, знаменатель решаю - получается[math]e^{2}[/math]

А вот числитель не могу. Подскажите?
Или можно по другому решить как - то?
Или я вообще не правильно стал решать ?)

Автор:  dr Watson [ 29 окт 2013, 13:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

d1skort писал(а):
[math]\lim_{n \to \inf }\frac{\sqrt[n+1]{2n + 3}}{\sqrt[n]{2n+1}}[/math]
Разбиваю, знаменатель решаю - получается[math]e^{2}[/math]

Неверно.
Такой предел [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1[/math] знаете? Вот его и применяйте.

Автор:  d1skort [ 29 окт 2013, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Нет, не знаю. Скорее всего вытекает из бинома Ньютона? Скажите где можно посмотреть доказательство?

Автор:  Alexander N [ 29 окт 2013, 14:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

[math]\lim_{n \to \inf }\frac{\sqrt[n+1]{2n + 3}}{\sqrt[n]{2n+1}}=\lim_{n \to \inf }\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{\lim_{n \to \inf }a_{n+1}}{\lim_{n \to \inf }a_n};=> a_n=\sqrt[n]{2n+1}}[/math]

[math]\lim_{n \to \inf}\frac{ln(2n+1)}{n}=\lim_{n \to \inf}\frac{2}{2n+1}=0;=> \lim_{n \to \inf } a_n=\lim_{n \to \inf } a_{n+1}=1;[/math]

Автор:  gefest [ 29 окт 2013, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

d1skort писал(а):
Или я вообще не правильно стал решать ?)

Что не правильно? [math]... \frac{e^2}{e^2}=1.[/math]

Автор:  d1skort [ 29 окт 2013, 14:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Alexander N писал(а):
[math]\lim_{n \to \inf }\frac{\sqrt[n+1]{2n + 3}}{\sqrt[n]{2n+1}}=\lim_{n \to \inf }\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{\lim_{n \to \inf }a_{n+1}}{\lim_{n \to \inf }a_n};=> a_n=\sqrt[n]{2n+1}}[/math]

[math]\lim_{n \to \inf}\frac{ln(2n+1)}{n}=\lim_{n \to \inf}\frac{2}{2n+1}=0;=> \lim_{n \to \inf } a_n=\lim_{n \to \inf } a_{n+1}=1;[/math]


Хм, глупый у меня вопрос, но как во второй строчке появился такой предел? Просто прологарифмировали?

gefest писал(а):
Что не правильно? [math]... \frac{e^2}{e^2}=1.[/math]


Я проверил. У меня в знаменателе не получилось привести ко второго замечательному. Там же получается 1 + бесконечность в скобочках. Где я опять ошибся?

Автор:  Human [ 29 окт 2013, 17:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

d1skort писал(а):
Нет, не знаю. Скорее всего вытекает из бинома Ньютона? Скажите где можно посмотреть доказательство?


Да, из бинома. При [math]n>1[/math] имеем

[math]n=\left(1+\sqrt[n]n-1\right)^n>\frac{n(n-1)}2\left(\sqrt[n]n-1\right)^2>0[/math]

откуда

[math]0<\sqrt[n]n-1<\sqrt{\frac2{n-1}}[/math]

Автор:  Yurik [ 29 окт 2013, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Я бы это предел делал так.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{n + 1}]{{2n + 3}}}}{{\sqrt[n]{{2n + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2n + 3}}{{2n + 1}}} \right)^{\frac{1}{{n + 1}}}}{\left( {2n + 1} \right)^{ - \frac{1}{{{n^2} + n}}}} = {1^0} \cdot \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln \left( {2n + 1} \right)}}{{{n^2} + n}}} \right) = {e^0} = 1[/math]

Автор:  Juliana [ 30 окт 2013, 20:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Кто может помочь решить пределы не используя правило Лопиталя?

Автор:  Juliana [ 31 окт 2013, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Yurik Ты можешь помочь решить производные?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/