Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Теоремы о среднем
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27294
Страница 1 из 1

Автор:  _vadik_ [ 28 окт 2013, 16:59 ]
Заголовок сообщения:  Теоремы о среднем

Всем привет, проверьте плиз решения задачи.

Доказать, что если функция дифференцируема в конечном или бесконечном интервале и существуют равные конечные или одного и того же знака бесконечные пределы функции(на концах промежутка), то существует точка внутри интервала - в которой производная функции равна нулю.


Я решаю так.
1) если промежуток конечен, то должны существовать точки (обозначим их x1 и x2)в которых значения функции равны(здесь я не рассматриваю случай в котором функция постоянна). Тогда применяя к промежутку теорему Роля- получим требуемое утверждение.

2) если промежуток бесконечен. Пусть значение функции на левом крае равно А, а на правом - B. Пусть для определенности A>B. Рассмотрим случай строго убывающей функции. Для такой функции существует обратная у которой производная будет бесконечной(так как эта функция неограниченна на конечном промежутке [B,A]) Но тогда по теореме о производной обратной функции - производная нашей функции будет равна нулю(в точке где производная обратной функции равна бесконечности). Если же функция не монотонна, то тут уже все просто.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/