Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверьте правильность. Найти предел последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27246
Страница 1 из 1

Автор:  aleksandrleo1911 [ 27 окт 2013, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Проверьте правильность. Найти предел последовательности

Найти предел последовательности и, пользуясь определением, доказать, что он равен именно этому числу:

Изображение

Автор:  gefest [ 29 окт 2013, 01:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте правильность. Найти предел последовательности

Предложение. [math]\lim_{n\to\infty}\frac{4n-1}{2n+1}=2.[/math]

Доказательство. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] - произвольное и [math]\varepsilon>0.[/math] Рассмотрим число [math]\frac{3-\varepsilon}{2\varepsilon}.[/math] Очевидно, это вещественное число. Тогда, по одной теореме, мы можем выбрать такое натуральное [math]N,[/math] что [math]N>\frac{3-\varepsilon}{2\varepsilon}.[/math] Пусть [math]n\in\mathbb{N}[/math]- произвольное и пусть [math]n\geqslant N.[/math] То есть [math]n>\frac{3-\varepsilon}{2\varepsilon}.[/math] Тогда

[math]2n>\frac{3-\varepsilon}{\varepsilon}[/math]

[math]2n+1>\frac{3-\varepsilon}{\varepsilon}+1=\frac{3}{\varepsilon}[/math]

[math]\frac{1}{2n+1}<\frac{\varepsilon}{3}.[/math]

[math]\frac{3}{2n+1}<\frac{3\varepsilon}{3}.[/math]

Следовательно, [math]\left|\frac{4n-1}{2n+1}-2\right|=\frac{3}{2n+1}<\frac{3\varepsilon}{3}=\varepsilon.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/