Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать по определению Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27192
Страница 1 из 1

Автор:  Drosya12 [ 25 окт 2013, 17:35 ]
Заголовок сообщения:  Доказать по определению Коши

Доказать по Коши.Заранее спасибо.

Автор:  gefest [ 25 окт 2013, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать по определению Коши

Предложение. [math]\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{1-x}=-2[/math]

Доказательство. Пусть [math]\varepsilon>0[/math] - произвольное вещественное число. Пусть [math]\delta=\varepsilon.[/math] Тогда [math]\delta\in\mathbb{R}.[/math] Пусть [math]x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}[/math] - произвольное. Пусть [math]|x-1|<\delta.[/math] Тогда

[math]\left|\frac{x^2-1}{1-x}-(-2)\right|=\left|\frac{x^2-1}{1-x}+2\right|=\left|\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}+2\right|=\left|-x-1+2\right|=|1-x|=|x-1|<\delta=\varepsilon.[/math]

Автор:  gefest [ 26 окт 2013, 00:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать по определению Коши

Предложение. [math]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\cos\frac{\pi x}{6}=0.[/math]

Доказательство. Пусть [math]\varepsilon>0[/math] - произвольное вещественное число. Пусть [math]\delta=\frac{1}{\varepsilon}.[/math] Тогда [math]\delta\in\mathbb{R}.[/math] Пусть [math]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math] - произвольное. Пусть [math]|x|>\delta.[/math] Тогда [math]\frac{1}{|x|}<\frac{1}{\delta}.[/math]

Тогда [math]\left|\frac{1}{x}\cos\frac{\pi x}{6}\right|=\left|\frac{1}{x}\right|\cdot\left|\cos\frac{\pi x}{6}\right|\leqslant\left|\frac{1}{x}\right|\cdot 1=\frac{1}{|x|}<\frac{1}{\delta}=\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/