Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел переменной величины
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27171
Страница 1 из 1

Автор:  Joker747 [ 25 окт 2013, 01:15 ]
Заголовок сообщения:  Предел переменной величины

Помогите с первым заданием в 4-в-11, никак не могу понять, что именно тут нужно сделать.Изображение

Автор:  gefest [ 25 окт 2013, 01:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел переменной величины

Надо доказать предложение

[math]\forall \varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists\delta\in\mathbb{R}\left(\delta>0\And\forall x\in\mathbb{R} \setminus\{1\}\left(|x-1|<\delta\to\left|\frac{x^3-1}{x-1}-3\right|<\varepsilon\right)\right)\right)[/math]


по схеме отсюда.

Автор:  gefest [ 25 окт 2013, 02:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел переменной величины

На нужных этапах можно взять [math]\delta=\frac{\sqrt{9+4\varepsilon}-3}{2}[/math] и использовать
Теорема. Если [math]a,\ b,\ c,\ d[/math] - положительные числа, [math]a<b[/math] и [math]c<d[/math], то [math]ac<bd.[/math]

Также может понадобится теорема [math]|a+b|\leqslant|a|+|b|[/math].

Автор:  radix [ 25 окт 2013, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел переменной величины

...

Автор:  Joker747 [ 25 окт 2013, 16:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел переменной величины

Все равно не понимаю, как именно это делать

Автор:  gefest [ 25 окт 2013, 17:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел переменной величины

Изменил немножко форму предложения. Части доказательства помещу сразу после номеров.
[math]\forall\varepsilon\left(\varepsilon\in\mathbb{R}\And\varepsilon>0\to\exists\delta\left(\delta\in\mathbb{R}\And\delta>0\And\forall x\left(x\in\mathbb{R} \setminus\{1\}\And |x-1|<\delta\to\left|\frac{x^3-1}{x-1}-3\right|<\varepsilon\right)\right)\right)[/math]

Доказываем формулу вида [math]\forall aP(a)[/math] (для любого [math]a[/math], имеет место [math]P(a)[/math]):

1. Пусть [math]\varepsilon[/math] - произвольное.

Здесь [math]P[/math] - то, что между внешними скобками. А там формула вида [math](A\And B)\to C[/math] (если [math]A[/math] и [math]B[/math], то [math]C[/math])

2. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] и [math]\varepsilon>0[/math].

[math]C[/math] имеет вид [math]\exists bQ(b)[/math] (существует [math]b[/math] такой, что имеет место [math]Q(b)[/math]) Дальше не комментирую.

3. Пусть [math]\delta=\frac{\sqrt{9+4\varepsilon}-3}{2}.[/math]

3.1. Тогда [math]\delta\in\mathbb{R}.[/math] (почему?)
3.2. Тогда [math]\delta>0.[/math]
3.3. Пусть [math]x[/math] - произвольный. Пусть [math]x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.[/math] Пусть [math]|x-1|<\delta.[/math] Тогда [math]\left|\frac{x^3-1}{x-1}-3\right|=...[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/