Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел функции по Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27060
Страница 1 из 1

Автор:  11111 [ 22 окт 2013, 11:57 ]
Заголовок сообщения:  Предел функции по Коши

Исходя из определения функции по Коши или предела последовательности, доказать равенства

Вложения:
.JPG
.JPG [ 5.76 Кб | Просмотров: 1509 ]

Автор:  gefest [ 22 окт 2013, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

11111 писал(а):
Исходя из определения функции по Коши ...

А какое это определение: "на языке окрестностей" или на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]"?

на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]":
[math]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X\left(|x-(-3)|<\delta\to\left|f(x)-(-5)\right|<\varepsilon\right)[/math]

[math]X[/math]- область определения функции.

Автор:  gefest [ 22 окт 2013, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

Для с) смотрите похожую задачу здесь

Пункт b) запишется так.
[math]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X\left[|x-(-2)|<\delta\to\frac{-5}{|x+2|}<-\varepsilon\right][/math]

Автор:  Human [ 22 окт 2013, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

gefest писал(а):
А какое это определение: "на языке окрестностей" или на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]"?


Оба носят имя Коши, ибо по сути одно и то же. Ещё есть определение предела по Гейне, в терминах последовательностей. Вот оно как раз существенно отличается по формулировке от определения по Коши, хотя и эквивалентно ему.

Автор:  11111 [ 23 окт 2013, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

Как пример Б то доказать

Автор:  gefest [ 23 окт 2013, 21:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

11111 писал(а):
Как пример Б то доказать

Что общего имеют пункты а) и б) или Вы подозреваете что б) не может быть доказан? Уточните.

Автор:  11111 [ 24 окт 2013, 16:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

Я не знаю как записать доказательство примера Б

Автор:  gefest [ 24 окт 2013, 20:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции по Коши

Предложение. [math]\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists\delta\in\mathbb{R}\left(\delta>0\And\forall x\in X\left(|x-(-2)|<\delta\to\frac{-5}{|x+2|}<-\varepsilon\right)\right)\right)[/math]

Доказательство.
-------
1. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] - произвольное.

2. Пусть [math]\varepsilon>0.[/math]

3. Пусть [math]\delta=\frac{5}{\varepsilon}.[/math] Следовательно [math]\delta>0.[/math]

4. Пусть [math]x\in X[/math] - произвольное.

5. Пусть [math]|x-(-)2|<\delta.[/math] Тогда, по теореме 1', [math]\frac{1}{|x-(-2)|}>\frac{1}{\delta}.[/math] Из последнего, по теореме 2', следует, что [math]\frac{-5}{|x-(-2)|}<\frac{-5}{\delta}.[/math]

6. Следовательно [math]\frac{-5}{|x+2|}=\frac{-5}{|x-(-2)|}<\frac{-5}{\delta}=\frac{-5}{\frac{5}{\varepsilon}}=-\varepsilon.[/math]
-------


(Попробуйте сами сформулировать теоремы, о которых идёт речь в пункте 5.)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/