| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел функции по Коши http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27060 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | 11111 [ 22 окт 2013, 11:57 ] | ||
| Заголовок сообщения: | Предел функции по Коши | ||
Исходя из определения функции по Коши или предела последовательности, доказать равенства
|
|||
| Автор: | gefest [ 22 окт 2013, 17:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
11111 писал(а): Исходя из определения функции по Коши ... А какое это определение: "на языке окрестностей" или на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]"? на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]": [math]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X\left(|x-(-3)|<\delta\to\left|f(x)-(-5)\right|<\varepsilon\right)[/math] [math]X[/math]- область определения функции. |
|
| Автор: | gefest [ 22 окт 2013, 18:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
Для с) смотрите похожую задачу здесь Пункт b) запишется так. [math]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X\left[|x-(-2)|<\delta\to\frac{-5}{|x+2|}<-\varepsilon\right][/math] |
|
| Автор: | Human [ 22 окт 2013, 20:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
gefest писал(а): А какое это определение: "на языке окрестностей" или на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]"? Оба носят имя Коши, ибо по сути одно и то же. Ещё есть определение предела по Гейне, в терминах последовательностей. Вот оно как раз существенно отличается по формулировке от определения по Коши, хотя и эквивалентно ему. |
|
| Автор: | 11111 [ 23 окт 2013, 17:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
Как пример Б то доказать |
|
| Автор: | gefest [ 23 окт 2013, 21:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
11111 писал(а): Как пример Б то доказать Что общего имеют пункты а) и б) или Вы подозреваете что б) не может быть доказан? Уточните. |
|
| Автор: | 11111 [ 24 окт 2013, 16:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
Я не знаю как записать доказательство примера Б |
|
| Автор: | gefest [ 24 окт 2013, 20:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции по Коши |
Предложение. [math]\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists\delta\in\mathbb{R}\left(\delta>0\And\forall x\in X\left(|x-(-2)|<\delta\to\frac{-5}{|x+2|}<-\varepsilon\right)\right)\right)[/math] Доказательство. ------- 1. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] - произвольное. 2. Пусть [math]\varepsilon>0.[/math] 3. Пусть [math]\delta=\frac{5}{\varepsilon}.[/math] Следовательно [math]\delta>0.[/math] 4. Пусть [math]x\in X[/math] - произвольное. 5. Пусть [math]|x-(-)2|<\delta.[/math] Тогда, по теореме 1', [math]\frac{1}{|x-(-2)|}>\frac{1}{\delta}.[/math] Из последнего, по теореме 2', следует, что [math]\frac{-5}{|x-(-2)|}<\frac{-5}{\delta}.[/math] 6. Следовательно [math]\frac{-5}{|x+2|}=\frac{-5}{|x-(-2)|}<\frac{-5}{\delta}=\frac{-5}{\frac{5}{\varepsilon}}=-\varepsilon.[/math] ------- (Попробуйте сами сформулировать теоремы, о которых идёт речь в пункте 5.) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|