Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 22 окт 2013, 11:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2013, 15:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исходя из определения функции по Коши или предела последовательности, доказать равенства

Вложения:
.JPG
.JPG [ 5.76 Кб | Просмотров: 1508 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 22 окт 2013, 17:22 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
11111 писал(а):
Исходя из определения функции по Коши ...

А какое это определение: "на языке окрестностей" или на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]"?

на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]":
[math]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X\left(|x-(-3)|<\delta\to\left|f(x)-(-5)\right|<\varepsilon\right)[/math]

[math]X[/math]- область определения функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 22 окт 2013, 18:45 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для с) смотрите похожую задачу здесь

Пункт b) запишется так.
[math]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X\left[|x-(-2)|<\delta\to\frac{-5}{|x+2|}<-\varepsilon\right][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 22 окт 2013, 20:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
gefest писал(а):
А какое это определение: "на языке окрестностей" или на "языке [math]\varepsilon-\delta[/math]"?


Оба носят имя Коши, ибо по сути одно и то же. Ещё есть определение предела по Гейне, в терминах последовательностей. Вот оно как раз существенно отличается по формулировке от определения по Коши, хотя и эквивалентно ему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 23 окт 2013, 17:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2013, 15:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как пример Б то доказать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 23 окт 2013, 21:44 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
11111 писал(а):
Как пример Б то доказать

Что общего имеют пункты а) и б) или Вы подозреваете что б) не может быть доказан? Уточните.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 16:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2013, 15:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не знаю как записать доказательство примера Б

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции по Коши
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 20:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предложение. [math]\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists\delta\in\mathbb{R}\left(\delta>0\And\forall x\in X\left(|x-(-2)|<\delta\to\frac{-5}{|x+2|}<-\varepsilon\right)\right)\right)[/math]

Доказательство.
-------
1. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] - произвольное.

2. Пусть [math]\varepsilon>0.[/math]

3. Пусть [math]\delta=\frac{5}{\varepsilon}.[/math] Следовательно [math]\delta>0.[/math]

4. Пусть [math]x\in X[/math] - произвольное.

5. Пусть [math]|x-(-)2|<\delta.[/math] Тогда, по теореме 1', [math]\frac{1}{|x-(-2)|}>\frac{1}{\delta}.[/math] Из последнего, по теореме 2', следует, что [math]\frac{-5}{|x-(-2)|}<\frac{-5}{\delta}.[/math]

6. Следовательно [math]\frac{-5}{|x+2|}=\frac{-5}{|x-(-2)|}<\frac{-5}{\delta}=\frac{-5}{\frac{5}{\varepsilon}}=-\varepsilon.[/math]
-------


(Попробуйте сами сформулировать теоремы, о которых идёт речь в пункте 5.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел функции по Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elphen Lied

11

558

18 апр 2020, 18:19

Найти предел по определению Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ilian

8

531

20 янв 2023, 13:21

Понятие напряжения в точке. Принцип напряжений Коши. Предел

в форуме Специальные разделы

Phamster

11

802

22 фев 2020, 10:22

Доказать непрерывность функции в точке по Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

WayTo

2

1187

03 окт 2016, 18:16

Проверить выполнимость условий Коши-Римана для функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sfanter

2

611

29 май 2016, 12:50

Найти все дифференцируемые функции, условие Коши-Римана

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

heron_i

6

550

20 май 2021, 14:47

Предел функции; Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

student2017

0

401

22 ноя 2017, 18:46

Предел функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

suxofructik

4

251

05 дек 2021, 22:10

Предел функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Korama01

2

186

12 ноя 2019, 18:33

Предел функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Moderon

3

294

23 янв 2016, 16:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved