Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Используя предел последовательности доказать равенства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=26963
Страница 1 из 1

Автор:  Rimako [ 18 окт 2013, 15:21 ]
Заголовок сообщения:  Используя предел последовательности доказать равенства

Исходя из определения предела последовательности, доказать равенства:
[math]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{ 5n+2 }{ 2n+5 } \right) = \frac{ 5 }{ 2 }[/math]

[math]\forall \varepsilon > 0 , \exists N=N\left( \varepsilon \right), \forall n > N \Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon[/math] [math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon[/math]
Чтобы док-ть фиксированные [math]\varepsilon[/math] и найден N из условия [math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon[/math]

[math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{ 5n+23 }{ 4n+10 } < \varepsilon[/math]
А дальше не знаю как решать((( Помогите разобраться.

Автор:  gefest [ 18 окт 2013, 15:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Используя предел последовательности доказать равенства

Rimako писал(а):
[math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{ 5n+23 }{ 4n+10 } < \varepsilon[/math]

Не правильно посчитали. Посчитайте правильно и выразите [math]n[/math] через епсилон. Это и будет [math]N(\varepsilon).[/math]

Автор:  Rimako [ 18 окт 2013, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Используя предел последовательности доказать равенства

gefest писал(а):
Не правильно посчитали. Посчитайте правильно и выразите через епсилон. Это и будет

Угу, спасибо большое)))

Автор:  gefest [ 18 окт 2013, 16:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Используя предел последовательности доказать равенства

Вот доказательство формулы (Будете уже знать как это доказывается. Вижу символика вам знакома.):
[math]\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists N\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}\left(n\geqslant N\to\left|\frac{5n+2}{2n+5}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon\right)\right)[/math].

Проходим через формулу слева направо.

1. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] произвольное.

2. Пусть[math]\varepsilon>0[/math]

3. Пусть [math]N=[/math]наименьшее натуральное число, превосходящее [math]\frac{21-10\varepsilon}{4\varepsilon}.[/math] (Как Вы находите это число - ваше дело, главное чтоб оно работало)

4. Пусть [math]n\in\mathbb{N}[/math] произвольное.

5. Пусть [math]n\geqslant N.[/math] То есть, [math]n>\frac{21-10\varepsilon}{4\varepsilon}.[/math]

Тогда [math]4n>\frac{21-10\varepsilon}{\varepsilon}[/math].

Тогда [math]4n+10>\frac{21-10\varepsilon}{\varepsilon}+10=\frac{21}{\varepsilon}.[/math]

6. И последнее: [math]\left|\frac{5n+2}{2n+5}-\frac{5}{2}\right|=\frac{21}{4n+10}<\frac{21}{\frac{21}{\varepsilon}}=\varepsilon.[/math]

Автор:  Rimako [ 19 окт 2013, 18:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Используя предел последовательности доказать равенства

а почему [math]21|21| \varepsilon[/math]?

Автор:  radix [ 19 окт 2013, 21:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Используя предел последовательности доказать равенства

В знаменатель вместо [math]4n+10[/math] ставят меньшее выражение [math]\frac{ 21 }{ \varepsilon }[/math] (см. предыдущую строчку).

Автор:  gefest [ 19 окт 2013, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Используя предел последовательности доказать равенства

Rimako писал(а):
а почему [math]21|21| \varepsilon[/math]?

Строго говоря, здесь использовались две теоремы:

Теорема 1. Если [math]a,\ b[/math] два положительных вещественных числа и [math]a>b[/math], то [math]\frac{1}{a}<\frac{1}{b}.[/math]
Для сравнения то же самое в символической форме: [math]\forall a\in\mathbb{R}\forall b\in\mathbb{R}\left(a>0\wedge b>0\wedge a<b\to\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\right)[/math]

Теорема 2. Если [math]a,\ b[/math] - вещественные числа, [math]c[/math] - вещественное положительное число и [math]a<b[/math], то [math]ac<bc.[/math]
[math]\forall a\in\mathbb{R}\forall b\in\mathbb{R}\forall c\in\mathbb{R}(a<b\wedge c>0\to ac<bc)[/math]

Эти теоремы доказываются с помощью определённых аксиом (как в эвклидовой геометрии).

Теперь возвращаюсь к нашему вопросу. В пункте 5 получили [math]4n+10>\frac{21}{\varepsilon}.[/math] Тогда отсюда, по теореме 1, следует [math]\frac{1}{4n+10}<\frac{\varepsilon}{21}.[/math] Уже отсюда, по теореме 2 (вместо [math]c[/math] подставляем [math]21[/math]), следует [math]\frac{21}{4n+10}<\frac{21\varepsilon}{21}=\varepsilon.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/