Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 15:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 15:02
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исходя из определения предела последовательности, доказать равенства:
[math]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{ 5n+2 }{ 2n+5 } \right) = \frac{ 5 }{ 2 }[/math]

[math]\forall \varepsilon > 0 , \exists N=N\left( \varepsilon \right), \forall n > N \Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon[/math] [math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon[/math]
Чтобы док-ть фиксированные [math]\varepsilon[/math] и найден N из условия [math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon[/math]

[math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{ 5n+23 }{ 4n+10 } < \varepsilon[/math]
А дальше не знаю как решать((( Помогите разобраться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 15:40 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rimako писал(а):
[math]\Rightarrow \left| \left( \left( \frac{5n+2}{2n+5}\right) - \left( \frac{5}{2}\right) \right) \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{ 5n+23 }{ 4n+10 } < \varepsilon[/math]

Не правильно посчитали. Посчитайте правильно и выразите [math]n[/math] через епсилон. Это и будет [math]N(\varepsilon).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 16:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 15:02
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
gefest писал(а):
Не правильно посчитали. Посчитайте правильно и выразите через епсилон. Это и будет

Угу, спасибо большое)))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 16:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот доказательство формулы (Будете уже знать как это доказывается. Вижу символика вам знакома.):
[math]\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists N\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}\left(n\geqslant N\to\left|\frac{5n+2}{2n+5}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon\right)\right)[/math].

Проходим через формулу слева направо.

1. Пусть [math]\varepsilon\in\mathbb{R}[/math] произвольное.

2. Пусть[math]\varepsilon>0[/math]

3. Пусть [math]N=[/math]наименьшее натуральное число, превосходящее [math]\frac{21-10\varepsilon}{4\varepsilon}.[/math] (Как Вы находите это число - ваше дело, главное чтоб оно работало)

4. Пусть [math]n\in\mathbb{N}[/math] произвольное.

5. Пусть [math]n\geqslant N.[/math] То есть, [math]n>\frac{21-10\varepsilon}{4\varepsilon}.[/math]

Тогда [math]4n>\frac{21-10\varepsilon}{\varepsilon}[/math].

Тогда [math]4n+10>\frac{21-10\varepsilon}{\varepsilon}+10=\frac{21}{\varepsilon}.[/math]

6. И последнее: [math]\left|\frac{5n+2}{2n+5}-\frac{5}{2}\right|=\frac{21}{4n+10}<\frac{21}{\frac{21}{\varepsilon}}=\varepsilon.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 19 окт 2013, 18:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 15:02
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а почему [math]21|21| \varepsilon[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 19 окт 2013, 21:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В знаменатель вместо [math]4n+10[/math] ставят меньшее выражение [math]\frac{ 21 }{ \varepsilon }[/math] (см. предыдущую строчку).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Используя предел последовательности доказать равенства
СообщениеДобавлено: 19 окт 2013, 22:24 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 дек 2012, 12:40
Сообщений: 173
Откуда: Кишинёв
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
57 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rimako писал(а):
а почему [math]21|21| \varepsilon[/math]?

Строго говоря, здесь использовались две теоремы:

Теорема 1. Если [math]a,\ b[/math] два положительных вещественных числа и [math]a>b[/math], то [math]\frac{1}{a}<\frac{1}{b}.[/math]
Для сравнения то же самое в символической форме: [math]\forall a\in\mathbb{R}\forall b\in\mathbb{R}\left(a>0\wedge b>0\wedge a<b\to\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\right)[/math]

Теорема 2. Если [math]a,\ b[/math] - вещественные числа, [math]c[/math] - вещественное положительное число и [math]a<b[/math], то [math]ac<bc.[/math]
[math]\forall a\in\mathbb{R}\forall b\in\mathbb{R}\forall c\in\mathbb{R}(a<b\wedge c>0\to ac<bc)[/math]

Эти теоремы доказываются с помощью определённых аксиом (как в эвклидовой геометрии).

Теперь возвращаюсь к нашему вопросу. В пункте 5 получили [math]4n+10>\frac{21}{\varepsilon}.[/math] Тогда отсюда, по теореме 1, следует [math]\frac{1}{4n+10}<\frac{\varepsilon}{21}.[/math] Уже отсюда, по теореме 2 (вместо [math]c[/math] подставляем [math]21[/math]), следует [math]\frac{21}{4n+10}<\frac{21\varepsilon}{21}=\varepsilon.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенства используя формулы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Newbie_MTF

26

881

29 мар 2018, 13:29

Используя определение последовательности, доказать, что

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tohaf

2

684

11 апр 2016, 16:22

Доказать предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Countdiuku

1

154

17 янв 2020, 22:32

Доказать предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

dimapro

10

646

06 мар 2018, 19:35

Доказать предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

phepo

15

268

12 ноя 2019, 11:54

Доказать предел последовательности по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

VadimHoroshilov

0

465

31 янв 2017, 18:35

Доказать, что предел последовательности равен ∞

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ZeGRyX

1

183

06 окт 2020, 16:10

Доказать сходимость и найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Avrora

5

584

05 окт 2016, 10:34

Доказать предел последовательности связанный с числом e

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

TheDarkestLight

8

297

14 окт 2020, 14:30

Используя определение предела, доказать данный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Men007

0

261

29 ноя 2016, 16:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved