| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=26645 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | dimochka [ 03 окт 2013, 11:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел |
Как посчитать такой предел [math]\lim_{n \to \infty}e^{-n}\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{ n^k }{ k! } }[/math] методами математического анализа? |
|
| Автор: | Human [ 04 окт 2013, 12:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Посидел вчера пару часов, ничего не придумалось. Посчитал в Wolfram Mathematica члены последовательности до 20.000.000-ого. Похоже, что всё это дело стремится к [math]\frac12[/math], но уж слишком медленно, чтобы можно было сказать с большой долей вероятности ([math]a_{10.000.000}\approx0,50037[/math], [math]a_{20.000.000}\approx0,50034[/math]). Вы не пробовали поместить этот вопрос на другие матфорумы, типа dxdy? Или у Вас есть решение без средств матанализа? |
|
| Автор: | dimochka [ 04 окт 2013, 12:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Human писал(а): Посидел вчера пару часов, ничего не придумалось. Посчитал в Wolfram Mathematica члены последовательности до 20.000.000-ого. Похоже, что всё это дело стремится к [math]\frac12[/math], но уж слишком медленно, чтобы можно было сказать с большой долей вероятности ([math]a_{10.000.000}\approx0,50037[/math], [math]a_{20.000.000}\approx0,50034[/math]). Вы не пробовали поместить этот вопрос на другие матфорумы, типа dxdy? Или у Вас есть решение без средств матанализа? 1. Я тоже пытался считать численно и тоже предел похож на 0,5. 2. На других форумах пока не спрашивал, но попробую на dxdy. 3. Есть хитрый подход без средств математического анализа, но сейчас задача именно средствами анализа убедиться, что ответ действительно 1/2. |
|
| Автор: | Human [ 04 окт 2013, 12:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
dimochka писал(а): 3. Есть хитрый подход без средств математического анализа, Очень хотелось бы узнать. Можете описать здесь или дать ссылку? |
|
| Автор: | dimochka [ 04 окт 2013, 12:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Human писал(а): dimochka писал(а): 3. Есть хитрый подход без средств математического анализа, Очень хотелось бы узнать. Можете описать здесь или дать ссылку? Идея состоит в применении центральной предельной теоремы (ЦПТ) из теории вероятностей. Если рассмотреть случайную величину (с.в.) Х, имеющую распределение Пуассона с параметром n, то, с одной стороны, легко показать, что под знаком предела написана вероятность того, что эта с.в. не превышает своего среднего значения (т.е. n), но с другой стороны такую с.в. можно представить как сумму независимых с.в., имеющих распределение Пуассона с параметром 1, что по ЦПТ означает, что с.в. Х в пределе имеет гауссовское распределение, а для гауссовской с.в. вероятность не превысить свое среднее значение равна именно 1/2, откуда сразу получаем ответ. |
|
| Автор: | Human [ 04 окт 2013, 12:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Я нашёл этот вопрос на англоязычном форуме math.stackexchange.com. Там есть как решение чисто с помощью средств матанализа (однако, по-видимому, требуется чтение дополнительной англоязычной книжки), так и приведённое Вами рассуждение, использующее теоремы теории вероятностей. Ссылка |
|
| Автор: | dimochka [ 04 окт 2013, 13:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Human писал(а): Я нашёл этот вопрос на англоязычном форуме math.stackexchange.com. Там есть как решение чисто с помощью средств матанализа (однако, по-видимому, требуется чтение дополнительной англоязычной книжки), так и приведённое Вами рассуждение, использующее теоремы теории вероятностей. Ссылка Спасибо, буду разбираться. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|