Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти пределы,если они существуют
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=26425
Страница 1 из 1

Автор:  strelok995 [ 22 сен 2013, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Найти пределы,если они существуют

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 22 сен 2013, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы,если они существуют

5) Примените формулу [math]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/math]

6) Используя первый замечательный предел [math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/math]или правило Лопитала легко доказать, что [math]\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1[/math]. Этот предел нам пригодится.

По формуле [math]\tan\alpha -\tan\beta= \frac{\sin(\alpha -\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}[/math] получаем

[math]\frac{\tan 8x^2-\tan 3x^2}{x\arcsin(3x^2+2x)}= \frac{1}{\cos(8x^2)\cos(3x^2)}\frac{\sin(5x^2)}{x\arcsin(3x^2+2x)}=\ldots[/math]

Теперь умножаем числитель и знаменатель на [math]5x(3x^2+2x)[/math]

[math]\ldots = \frac{1}{\cos(8x^2)\cos(3x^2)} \frac{\sin(5x^2)}{5x^2}\frac{3x^2+2x}{\arcsin(3x^2+2x)}\frac{5x}{3x^2+2x}.[/math]


Так как

[math]\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(8x^2)\cos(3x^2)}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x^2)}{5x^2}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{3x^2+2x}{\arcsin(3x^2+2x)}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{5x}{3x^2+2x}=\lim_{x\to 0}\frac{5}{3x+2}=\frac{5}{2}[/math]

то

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\tan 8x^2-\tan 3x^2}{x\arcsin(3x^2+2x)}= 1\cdot 1\cdot 1 \cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{2}[/math]


7) По формуле [math]1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}[/math] имеем

[math]\frac{x\sin x}{1+\tan^2x-\cos x}=\frac{x\sin x}{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}=\frac{x\cos^2x\;\sin x}{1-\cos^3 x} =\ldots[/math]


[math](a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/math]

[math]\ldots = \frac{x\cos^2x\;\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)}=\frac{\cos^2x}{1+\cos x+\cos^2x}\frac{\sin x}{x} \frac{x^2}{1-\cos x}[/math]


Так как

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2x}{1+\cos x+\cos^2x}=\frac{1}{3}[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(1+\cos x)}{1-\cos^2 x}= \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin^2 x}(1+\cos x)=1\cdot 2=2[/math]


то

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{1+\tan^2x-\cos x}= \frac{1}{3}\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{3}[/math]

Автор:  strelok995 [ 22 сен 2013, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы,если они существуют

Спасибо огромное!

Автор:  SzaryWilk [ 22 сен 2013, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы,если они существуют

Да не за что. ;)
Подсказка к последнему пределу: Покажите, что [math]\lim_{x\to 2}\ln(x^2-7x+11)\sin\frac{1}{x-2}=0[/math]
Подсказка к подсказке :D1 : функция синус ограничена

Ответ: 2

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/