Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить пределы функции(по и без Лопиталя)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=25742
Страница 1 из 1

Автор:  2fan [ 03 июл 2013, 13:06 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить пределы функции(по и без Лопиталя)

Изображение

Автор:  Andy [ 04 июл 2013, 07:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции(по и без Лопиталя)

2fan
В первом задании, чтобы найти предел, не используя правило Бернулли - Лопиталя, сделайте подстановку [math]y=\pi x-\pi,[/math] выполните преобразования и воспользуйтесь эквивалентностями бесконечно малых [math]1-\cos y \sim \frac{y^2}{2},~\operatorname{tg}{y} \sim y.[/math] Применение правила Бернулли - Лопиталя ещё проще.

Автор:  Yurik [ 04 июл 2013, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции(по и без Лопиталя)

В первом, просто тригонометрические преобразования.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \cos \pi x}}{{t{g^2}\pi x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{{\cos }^2}\frac{{\pi x}}{2}{{\cos }^2}\pi x}}{{4{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}{{\cos }^2}\frac{{\pi x}}{2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {\frac{{{{\cos }^2}\frac{{\pi x}}{2} - {{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi x}}{2}}}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{0 - 1}}{1}} \right)^2} = \frac{1}{2}[/math]

Во-втором, используйте эквивалентности.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {1 - \ln \left( {1 + {x^{\frac{1}{3}}}} \right)} \right]^{\frac{x}{{{{\sin }^4}\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}}}} = \left| \begin{gathered} \ln \left( {1 + {x^{\frac{1}{3}}}} \right)\,\, \sim \,\,{x^{\frac{1}{3}}} \hfill \\ {\sin ^4}\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)\,\, \sim \,\,{x^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 - {x^{\frac{1}{3}}}} \right)^{{x^{ - \frac{1}{3}}}}} = {e^{ - 1}}[/math]

Автор:  Yurik [ 04 июл 2013, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции(по и без Лопиталя)

Извините, в первом лишние преобразования в числителе.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \cos \pi x}}{{t{g^2}\pi x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{{\cos }^2}\frac{{\pi x}}{2}{{\cos }^2}\pi x}}{{4{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}{{\cos }^2}\frac{{\pi x}}{2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\cos }^2}\pi x}}{{{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/