Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=25487
Страница 1 из 2

Автор:  Sanya94 [ 17 июн 2013, 17:28 ]
Заголовок сообщения:  Предел

Здравствуйте, уже не знаю что делать. Никак не дается предел Изображение, уже весь мозг сломал. А завтра курсовую сдавать. Помогите пожалуйста с решением. Заранее огромное спасибо.

Автор:  Human [ 17 июн 2013, 21:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Поднимайте котангенс в степень и пользуйтесь правилом Лопиталя. Должны получить единицу.

Автор:  dr Watson [ 18 июн 2013, 09:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Строго говоря, предела нет - должен быть предел справа. А во-вторых, проще однако заменить [math]x- \pi=t[/math], прологарифмировать, после чего получим [math]\lim\limits_{t\to 0^+}\left(t\ln \sin t - t\ln \cos t\right)[/math].
Второе слагаемое в пределе 0, а в первом заменить множитель [math]t[/math] на ему эквивалентный [math]\sin t[/math], в результате чего имеем хрестоматийный [math]\lim\limits_{s\to 0^+}s\ln s = 0[/math], устанавливаемый хотя бы и Лопиталем.

Автор:  Yurik [ 18 июн 2013, 09:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

dr Watson
А Вольфрам даёт единицу.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+limit+_{x-%3E+pi+}%28ctgx%29^%28+pi+-x%29

Автор:  dr Watson [ 18 июн 2013, 09:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Правильно дает, я же прологарифмировал - мой ноль (ясен пень) надо спотенцировать.

Автор:  SzaryWilk [ 18 июн 2013, 14:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Вмешаюсь надеясь, что уважаемые коллеги-форумчане меня простят. Человек "мозг сломал", хочется помочь полным решением. :witch:
Имеем
[math]\lim_{x\to\pi^+}(\textrm{ctg}\, x)^{\pi-x}=\lim_{x\to\pi^+}e^{(\pi-x)\ln\textrm{ctg}\, x}[/math]


[math]\lim_{x\to\pi^+}(\pi-x)\ln\textrm{ctg}=\lim_{x\to\pi^+}\frac{\ln\textrm{ctg}}{\frac{1}{\pi-x}}\stackrel{H}{=}[/math]

[math]\lim_{x\to\pi^+}\frac{(\pi-x)^2}{\sin x\cos x}=\lim_{x\to\pi^+}\frac{\pi-x}{\sin(\pi-x)}\frac{\pi-x}{\cos x}=0[/math]

Следовательно

[math]\lim_{x\to\pi^+}(\textrm{ctg}\, x)^{\pi-x}=e^0=1[/math]


(Исправила, Human, спасибо!)

Автор:  Human [ 18 июн 2013, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

SzaryWilk

dr Watson выше справедливо заметил, что предел здесь можно рассматривать только правосторонний, поскольку котангенс отрицателен в левой полуокрестности точки [math]\pi[/math], поэтому функция под пределом в ней не определена, и потому полного предела по всей проколотой окрестности не существует.

Автор:  Human [ 18 июн 2013, 14:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

SzaryWilk писал(а):
А так как [math]\lim_{x\to\pi^-}(\textrm{ctg}\, x)^{\pi-x}=\lim_{x\to\pi^-}(-\textrm{ctg}\, x)^{\pi-x}[/math]


Я в недоумении. Почему и откуда?

Автор:  SzaryWilk [ 18 июн 2013, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Потому что всю ночь я не спала :) Бред, конечно, ведь левосторонний предел не существует. Прошу прощения.

Автор:  byblik [ 01 июн 2015, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Помогите,пожалуйста,с пределом.
Тут всё решено, но Нужно объяснить преподавателю как это решается. То что обведено карандашомИзображение

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/