Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать непрерывность
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=25346
Страница 1 из 1

Автор:  DarkSoulina [ 09 июн 2013, 21:20 ]
Заголовок сообщения:  Доказать непрерывность

Пусть f(x,y) непрерывна по переменной х при каждом фиксированном у и имеет ограниченную частную производную df\dy в области G. Доказать, что f непрерывна на G.

Автор:  Human [ 10 июн 2013, 06:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность

Поскольку [math]f(x,y)[/math] дифференцируема по [math]y[/math] при всех [math](x,y)\in G[/math], и число [math]C=\sup_G\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|[/math] конечно, то можно воспользоваться формулой конечных приращений, причём

[math]\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|=\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\eta)\right||y-y_0|\leqslant C|y-y_0|[/math]

Тогда

[math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math]

Функция [math]C|y-y_0|[/math] есть функция одной переменной, поэтому

[math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}C|y-y_0|=\lim_{y\to y_0}C|y-y_0|=0[/math]

Аналогично

[math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|=\lim_{x\to x_0}\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|=0[/math]

поскольку [math]f[/math] непрерывна по [math]x[/math]. Значит по теореме о двух милиционерах

[math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=0[/math]

что означает непрерывность функции в точке [math](x_0,y_0)[/math].

Автор:  Human [ 10 июн 2013, 08:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность

Human писал(а):
Тогда

[math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math]


Ошибся, должно быть

[math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/