Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование функции на непрерывность
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=24798
Страница 1 из 1

Автор:  Olya Smile [ 27 май 2013, 22:19 ]
Заголовок сообщения:  Исследование функции на непрерывность

Помогите, пожалуйста, исследовать функцию на непрерывность. f(x,y)=(e^(1/xy))/xy,если xy не равно 0; f(x,y)=a, если xy равно 0.

Автор:  slog [ 27 май 2013, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

пределы нужно посмотреть при x->0, при y->0 и кратный при одновременном стремлении переменных в 0.

Автор:  Olya Smile [ 27 май 2013, 22:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

slog писал(а):
пределы нужно посмотреть при x->0, при y->0 и кратный при одновременном стремлении переменных в 0.

А не нужно рассматривать случаи, когда произведение стремиться к 0, и когда оно стремиться к минус 0?

Автор:  slog [ 27 май 2013, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

Надо. Только посмотрите пост выше, какие случаи надо рассмотреть. Ну и в Вашем примере важно с какой стороны стремиться, поэтому смотрите с каждой в отдельности.

Автор:  Olya Smile [ 27 май 2013, 23:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

slog писал(а):
Надо. Только посмотрите пост выше, какие случаи надо рассмотреть. Ну и в Вашем примере важно с какой стороны стремиться, поэтому смотрите с каждой в отдельности.

Получается вот что: когда и x и y стремятся к нулю, то в пределах получается бесконечность. Но когда хотя бы один из них стремиться у минус нулю, то получается неопределённость:0/0. Как её раскрывать?

Автор:  slog [ 27 май 2013, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

может сделать замену, как вы считаете? [math]t= xy[/math]

Автор:  Olya Smile [ 27 май 2013, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

slog писал(а):
может сделать замену, как вы считаете? [math]t= xy[/math]

Попробовала...но t ведь стремиться к минус 0 и неопределённость не пропала. Может я что-то не так делаю..(

Автор:  Human [ 28 май 2013, 13:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

slog писал(а):
может сделать замену, как вы считаете? [math]t=xy[/math]


В данном случае эта замена не даст ответа, поскольку функция [math]g(t)=\frac{e^{\frac1t}}t[/math] не имеет предела в нуле (в том числе и бесконечного). Известны примеры функций [math]f(x)[/math] и [math]g(t)[/math] таких, что [math]f(x)[/math] и [math]g(f(x))[/math] имеют предел в точке [math]x_0[/math], а [math]g(t)[/math] не имеет предела в точке [math]t_0=\lim_{x\to x_0}f(x)[/math]. Например, [math]f(x)=x^2,\ g(t)=e^{-\frac1t},\ x_0=0[/math].

Здесь всё достаточно просто исследуется по определению предела по Гейне. Например, рассмотрите последовательность [math]\left(\frac1n,\frac1n\right)[/math], она сходится к [math](0,0)[/math], но функция на ней стремится к бесконечности, так что ни о какой непрерывности не может идти речи. Аналогично, подумайте, какие последовательности можно взять при исследовании в остальных точках, где [math]xy=0[/math].

Автор:  slog [ 29 май 2013, 22:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции на непрерывность

Human
Благодарности))

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/