Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенность inf-inf
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=24199
Страница 1 из 2

Автор:  Wersel [ 13 май 2013, 15:16 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенность inf-inf

[math]\lim\limits_{a \to \infty} \left ( \sqrt{a} - \ln|\sqrt{a}+1| \right )[/math]

Подскажите, пожалуйста.

Автор:  Yurik [ 13 май 2013, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

[math]\mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \left( {\sqrt a - \ln |\sqrt a + 1|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \frac{{1 - \frac{{{{\ln }^2}|\sqrt a + 1|}}{a}}}{{\frac{1}{{\sqrt a }} + \frac{{\ln |\sqrt a + 1|}}{a}}} = \frac{{1 - 0}}{{0 + 0}} = \infty[/math]

Автор:  Wersel [ 13 май 2013, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Yurik
А дроби лопиталить? Вариант конечно, но может можно как-то проще...

Автор:  Yurik [ 13 май 2013, 15:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Можно и лопиталить, но это прекрасно видно графически и интуитивно.

Автор:  Wersel [ 13 май 2013, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Yurik
Дык прекрасно графически и интуитивно сразу видно, что бесконечность, так как икс растет быстрее, чем логарифм.

Вообще, первоначальная задача была такая

Автор:  Yurik [ 13 май 2013, 16:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Wersel писал(а):
Вообще, первоначальная задача была такая

И что? Предел посчитали, интеграл расходится.

Автор:  Wersel [ 13 май 2013, 16:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Yurik
Сложновато получилось, может возможно доказать расходимость, без вычисления первообразной...

Автор:  slog [ 13 май 2013, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Очевидно, ваш предел [math]\lim_{a \to\infty } \frac{ a - 2 \ln{\sqrt{a}+1} }{ \ sqrt{a}+\ln{\sqrt{a}+1} }[/math]
Делите и числитель , и знаменательно на a.
ну и получите [math]\lim_{a \to \infty } \frac{ 1 - 2 \frac{ \ln{\sqrt{a}+1}}{ a } }{ \frac{ 1}{\sqrt{a} } + \frac{ \ln{\sqrt{a}+1} }{ a } }[/math]
и мы знаем, что логарифм- возрастает гораздо медленнее a(строгое доказательство можно найти почти в любом учебнике по МА),
Тогда [math]\lim = [ \frac{ 1 }{ 0} ] = \infty[/math]

Автор:  slog [ 13 май 2013, 16:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Воу, пока вбивал- уже решили))

Автор:  Yurik [ 13 май 2013, 16:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенность inf-inf

Wersel писал(а):
Сложновато получилось, может возможно доказать расходимость, без вычисления первообразной...

Попробуйте по признаку сравнения с расходящимся [math]\int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{x}}[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/