Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Параметры уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=23226
Страница 1 из 1

Автор:  falenopsis [ 06 апр 2013, 17:48 ]
Заголовок сообщения:  Параметры уравнения

Добрый день!

Задача: постепенное равномерное возрастание коэффициента i от 1 до 2. i0=1; in=2.


10*x = 1*x+i1*x+i2*x+i3*x+...+2*x

есть ли какой-нибудь способ решения данной задачи? Количество слагаемых в уравнении - неизвестно. Сумма всех i=10. Мне нужно узнать, насколько с каждым слагаемым увеличивается i.

Автор:  Avgust [ 07 апр 2013, 01:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметры уравнения

Если все сгруппировать и сократить на икс, то получим (за вычетом известных конечных чисел 1 и 2):

[math]\sum \limits_{k=1}^n\, i_k=7[/math]

Самое логичное - принять [math]n=5[/math] . Тогда [math]i_0=1\, ; \, i_6=2[/math] и получается более-менее равномерное увеличение семи членов ряда :

[math]1\, , \, \frac{16}{15}\, , \, \frac{18}{15}\, , \,\frac{21}{15}\, , \,\frac{23}{15}\, , \,\frac{27}{15}\, , \,2[/math]

Это если в рациональных дробях. Если же в десятичном виде делать, то, возможно, можно добиться и равные интервалы между [math]i_k[/math]. Мне такое сделать не удалось.

Еще вариант :

[math]1\, , \, \frac{10}{9}\, , \, \frac{11}{9}\, , \,\frac{12}{9}\, , \,\frac{14}{9}\, , \,\frac{16}{9}\, , \,2[/math]

Здесь бОльшая степень равномерности. Первые три члена ряда увеличиваются на [math]\frac 19[/math], остальные - на [math]\frac 29[/math]. Для этого варианта применил четкую схему с решением системы двух линейных уравнений. Если нужно - приведу.

Автор:  Avgust [ 07 апр 2013, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметры уравнения

Последнее решение получил так: предположил, что первые четыре числа составляют арифметическую прогрессию с шагом [math]d_1[/math], остальные три - с шагом [math]d_2[/math]. Запишем их:

[math]1[/math]
[math]1+d_1[/math]
[math]1+2d_1[/math]
[math]1+3d_1[/math]
[math]1+3d_1+d_2[/math]
[math]1+3d_1+2d_2[/math]
[math]1+3d_1+3d_2[/math]

По условию задачи последнее число равно [math]2[/math] , а сумма всех чисел равна [math]10[/math]. То есть:

[math]1+3d_1+3d_2=2[/math]
[math]7+15d_1+6d_2=10[/math]

Решаем эту систему и находим: [math]d_1=\frac 19\,; \,\,d_2=\frac 29[/math]

При такой же модели, если увеличить число точек, то [math]d_1[/math] становится отрицательным.

Если принять 6 чисел, то решение тоже есть, но будет слишком большая неравномерность: первые 3 числа образуют арифметическую прогрессию с шагом [math]d_1=\frac {6}{15}[/math], последние три числа - арифметическую прогрессию с шагом [math]d_1=\frac {1}{15}[/math]

Немного получше будет, если принять первые три числа с шагом [math]d_2[/math], остальные 4 числа - с шагом [math]d_2[/math]. Тогда придем к системе:

[math]1+2d_1+4d_2=2[/math]
[math]7+11d_1+10d_2=10[/math]

Решение: [math]d_1=\frac{2}{24}\, ; \, \, d_2=\frac{5}{24}[/math]

Таким образом, пример в самом начале этого поста - наиболее оптимальный:

[math]1\, , \, \frac{10}{9}\, , \, \frac{11}{9}\, , \,\frac{12}{9}\, , \,\frac{14}{9}\, , \,\frac{16}{9}\, , \,2[/math]

Автор:  Avgust [ 07 апр 2013, 10:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметры уравнения

Опечатался почти в конце. Надо читать:
"Немного получше будет, если принять первые три числа с шагом [math]d_1[/math], остальные 4 числа - с шагом [math]d_2[/math]".

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/