| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Периоды функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=23001 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Free Dreamer [ 29 мар 2013, 03:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Периоды функции |
Доброго времени суток. У меня возник немного странный вопрос о множестве периодов функции [math](f \,\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} )[/math] Верно ли, что если множество всех периодов функции несчётно, то она тождественно равна константе? Заранее благодарен. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 31 мар 2013, 17:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Free Dreamer писал(а): Верно ли, что если множество всех периодов функции несчётно, то она тождественно равна константе? Не понимаю вопроса Разве, к примеру, [math]y=\sin x[/math] - константа? |
|
| Автор: | Human [ 31 мар 2013, 17:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
У синуса счётное множество периодов. |
|
| Автор: | Human [ 31 мар 2013, 17:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Free Dreamer Я написал Ваш вопрос на dxdy, но там ответили нечто, что выше моего понимания. Может, Вы разберётесь. Вот ссылка: http://dxdy.ru/topic70348.html |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 31 мар 2013, 23:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
К сожалению, моих знаний явно недостаточно для приведённого ответа, но спасибо за ссылку. Я задал вопрос на math.stackexchange. Если Вам интересно, могу разместить ответ тут (если, конечно, кто-то ответит). |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 03 апр 2013, 00:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Размещаю ответ, как обещал. Понять его я пока не могу, но, может, как-нибудь позже. Вложение: Вложение: pic41.png [ 8.63 Кб | Просмотров: 553 ] |
|
| Автор: | MihailM [ 03 апр 2013, 10:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Использование несчетного поля в ответе с dxdy очевидный способ решения этой задачи - надо взять характеристическую функцию этого поля Например функция Дирихле - период любое рациональное число |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 04 апр 2013, 11:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Но множество рациональных чисел счётно. |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 04 апр 2013, 12:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Допустим, мы нашли поле, о котором Вы говорите. Обозначим его [math]F[/math]. MihailM писал(а): Использование несчетного поля в ответе с dxdy очевидный способ решения этой задачи - надо взять характеристическую функцию этого поля Вы имеете в виду обычную характеристическую функцию, т.е.[math]\forall x \in \mathbb{R} ~~ \chi(x) = \left\{\!\begin{aligned} 1 ~~ if ~~ x\in F \\ 0 ~~ if ~~ x \in \mathbb{R} \setminus F \end{aligned}\right.[/math] ? Допустим, мы взяли произвольное [math]T \in F[/math]. Тогда, если [math]x \in F[/math], то, в силу замкнутости поля относительно сложения, [math]x + T \in F ~~ \Rightarrow ~~ f(x+T) = f(x) = 1[/math]. А что, если [math]x \in \mathbb{R} \setminus F[/math]? Я правильно понимаю, что если [math]x + T = y \in F[/math], то [math]x = y + (-T) \in F[/math], что противоречит условию - и, значит, [math]x + T \in \mathbb{R} \setminus F ~~ \Rightarrow ~~ f(x+T) = f(x) = 0[/math] Я правильно рассуждаю? P.S. Выходит, нам достаточно любой аддитивной подгруппы [math]\mathbb{R}[/math], не совпадающей с [math]\mathbb{R}[/math]? А если отбросить требование "группа" и потребовать просто замкнутость относительно сложения - этого будет достаточно? |
|
| Автор: | MihailM [ 04 апр 2013, 14:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Периоды функции |
Free Dreamer писал(а): ...Я правильно рассуждаю?... Ну да. Замкнутости относительно сложения маловато, возьмите натуральные числа |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|