Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Периоды функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=23001
Страница 1 из 1

Автор:  Free Dreamer [ 29 мар 2013, 03:24 ]
Заголовок сообщения:  Периоды функции

Доброго времени суток.
У меня возник немного странный вопрос о множестве периодов функции [math](f \,\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} )[/math]
Верно ли, что если множество всех периодов функции несчётно, то она тождественно равна константе?
Заранее благодарен.

Автор:  Alexdemath [ 31 мар 2013, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Free Dreamer писал(а):
Верно ли, что если множество всех периодов функции несчётно, то она тождественно равна константе?

Не понимаю вопроса :P

Разве, к примеру, [math]y=\sin x[/math] - константа?

Автор:  Human [ 31 мар 2013, 17:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

У синуса счётное множество периодов.

Автор:  Human [ 31 мар 2013, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Free Dreamer

Я написал Ваш вопрос на dxdy, но там ответили нечто, что выше моего понимания. Может, Вы разберётесь.

Вот ссылка: http://dxdy.ru/topic70348.html

Автор:  Free Dreamer [ 31 мар 2013, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

К сожалению, моих знаний явно недостаточно для приведённого ответа, но спасибо за ссылку.
Я задал вопрос на math.stackexchange. Если Вам интересно, могу разместить ответ тут (если, конечно, кто-то ответит).

Автор:  Free Dreamer [ 03 апр 2013, 00:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Размещаю ответ, как обещал. Понять его я пока не могу, но, может, как-нибудь позже.
Вложение:
pic40.png
pic40.png [ 20.09 Кб | Просмотров: 35 ]

Вложение:
pic41.png
pic41.png [ 8.63 Кб | Просмотров: 553 ]

Автор:  MihailM [ 03 апр 2013, 10:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Использование несчетного поля в ответе с dxdy очевидный способ решения этой задачи - надо взять характеристическую функцию этого поля
Например функция Дирихле - период любое рациональное число

Автор:  Free Dreamer [ 04 апр 2013, 11:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Но множество рациональных чисел счётно.

Автор:  Free Dreamer [ 04 апр 2013, 12:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Допустим, мы нашли поле, о котором Вы говорите. Обозначим его [math]F[/math].
MihailM писал(а):
Использование несчетного поля в ответе с dxdy очевидный способ решения этой задачи - надо взять характеристическую функцию этого поля
Вы имеете в виду обычную характеристическую функцию, т.е.
[math]\forall x \in \mathbb{R} ~~ \chi(x) = \left\{\!\begin{aligned} 1 ~~ if ~~ x\in F \\ 0 ~~ if ~~ x \in \mathbb{R} \setminus F \end{aligned}\right.[/math] ?

Допустим, мы взяли произвольное [math]T \in F[/math].
Тогда, если [math]x \in F[/math], то, в силу замкнутости поля относительно сложения, [math]x + T \in F ~~ \Rightarrow ~~ f(x+T) = f(x) = 1[/math]. А что, если [math]x \in \mathbb{R} \setminus F[/math]? Я правильно понимаю, что если [math]x + T = y \in F[/math], то [math]x = y + (-T) \in F[/math], что противоречит условию - и, значит, [math]x + T \in \mathbb{R} \setminus F ~~ \Rightarrow ~~ f(x+T) = f(x) = 0[/math]

Я правильно рассуждаю?

P.S.
Выходит, нам достаточно любой аддитивной подгруппы [math]\mathbb{R}[/math], не совпадающей с [math]\mathbb{R}[/math]? А если отбросить требование "группа" и потребовать просто замкнутость относительно сложения - этого будет достаточно?

Автор:  MihailM [ 04 апр 2013, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периоды функции

Free Dreamer писал(а):
...Я правильно рассуждаю?...

Ну да.
Замкнутости относительно сложения маловато, возьмите натуральные числа

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/