Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача на непрерывность
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22997
Страница 1 из 1

Автор:  alexeyderihle [ 28 мар 2013, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Задача на непрерывность

Помогите доказать, пожалуйста! Если f(x) не достигает супремума и инфинума на интервале (a,b), то она монотонна.

Автор:  alexeyderihle [ 28 мар 2013, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на непрерывность.

Забыл добавить, функция непрерывна

Автор:  Human [ 28 мар 2013, 21:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на непрерывность.

Это неверно, либо Вы неверно записали условие. Скажем, функция

[math]f(x)=\left\{\begin{aligned}-\frac1x,\ 0<x\leqslant1\\|x-2|-2,\ 1<x\leqslant3\\-\frac1{x-4}-2,\ 3<x<4\end{aligned}\right.[/math]

непрерывна на интервале [math](1;4)[/math] и не достигает на нём ни супремума, ни инфимума, но при этом функция, очевидно, не монотонна.

Автор:  alexeyderihle [ 28 мар 2013, 21:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на непрерывность.

Human
Как неудобно, забыл уточнить еще кое-что :( верхняя и нижняя грань не достигаются на любом конечном интервале (a,b).

Автор:  Human [ 29 мар 2013, 00:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на непрерывность.

Буду считать, что функция задана на всём [math]\mathbb{R}[/math].

▼ Лемма и основное утверждение
Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], и существует точка [math]c[/math] интервала [math](a;b)[/math] такая, что [math]f(c)\geqslant f(a),\ f(c)\geqslant f(b)[/math] (либо [math]f(c)\leqslant f(a),\ f(c)\leqslant f(b)[/math]). Тогда функция [math]f[/math] достигает на интервале [math](a;b)[/math] верхней грани (либо нижней грани).

Доказательство: Пусть [math]f(c)\geqslant f(a),\ f(c)\geqslant f(b)[/math]. Согласно теореме Вейерштрасса функция [math]f[/math] достигает на отрезке [math][a;b][/math] верхней грани в некоторой точке отрезка [math][a;b][/math], причём эту точку можно найти на интервале [math](a;b)[/math]. Действительно, если верхняя грань достигается на конце отрезка [math][a;b][/math], то она же в силу неравенств [math]f(c)\geqslant f(a),\ f(c)\geqslant f(b)[/math] достигается и в точке [math]c[/math]. Но тогда в ней же будет достигаться и верхняя грань функции на интервале [math](a;b)[/math], ч. и т. д.

Аналогично в случае [math]f(c)\leqslant f(a),\ f(c)\leqslant f(b)[/math] доказывается достижимость нижней грани.

Из этой леммы естественным образом следует основное утверждение:

Если непрерывная на отрезке [math][a;b][/math] функция [math]f[/math] не достигает на интервале [math](a;b)[/math] ни верхней, ни нижней грани, то для любой точки [math]c\in(a;b)[/math] значение [math]f(c)[/math] находится между значениями [math]f(a)[/math] и [math]f(b)[/math].

Отсюда в частности следует, что [math]f(a)\ne f(b)[/math], поскольку между равными значениями никаких других значений нет.

Возьмём теперь какие-нибудь две точки [math]a<b[/math] и допустим, что [math]f(a)<f(b)[/math]. Покажем, что функция [math]f[/math] будет возрастать на [math]\mathbb{R}[/math]. Для этого возьмём произвольные точки [math]x_1<x_2[/math] и рассмотрим несколько случаев.

1) [math]x_1<a,\ x_1<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(x_2)<f(b)[/math].

2) [math]x_1<a,\ x_2=b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)=f(x_2)[/math].

3) [math]x_1<a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(b)<f(x_2)[/math].

4) [math]x_1=a,\ a<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(x_2)<f(b)[/math].

5) [math]x_1=a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(b)<f(x_2)[/math].

Остальные случаи уже сами разберите, а то мне откровенно лень :) Может быть, их вообще не стоило бы разбирать из-за своеобразной очевидности, но мне лично это не так очевидно.
Аналогично доказывается убывание при допущении [math]f(a)>f(b)[/math].

Автор:  alexeyderihle [ 29 мар 2013, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на непрерывность.

Human
Спасибо большое за столь подробное решение, помогли очень!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/