| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача на непрерывность http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22997 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | alexeyderihle [ 28 мар 2013, 19:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача на непрерывность |
Помогите доказать, пожалуйста! Если f(x) не достигает супремума и инфинума на интервале (a,b), то она монотонна. |
|
| Автор: | alexeyderihle [ 28 мар 2013, 19:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на непрерывность. |
Забыл добавить, функция непрерывна |
|
| Автор: | Human [ 28 мар 2013, 21:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на непрерывность. |
Это неверно, либо Вы неверно записали условие. Скажем, функция [math]f(x)=\left\{\begin{aligned}-\frac1x,\ 0<x\leqslant1\\|x-2|-2,\ 1<x\leqslant3\\-\frac1{x-4}-2,\ 3<x<4\end{aligned}\right.[/math] непрерывна на интервале [math](1;4)[/math] и не достигает на нём ни супремума, ни инфимума, но при этом функция, очевидно, не монотонна. |
|
| Автор: | alexeyderihle [ 28 мар 2013, 21:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на непрерывность. |
Human Как неудобно, забыл уточнить еще кое-что верхняя и нижняя грань не достигаются на любом конечном интервале (a,b).
|
|
| Автор: | Human [ 29 мар 2013, 00:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на непрерывность. |
Буду считать, что функция задана на всём [math]\mathbb{R}[/math]. ▼ Лемма и основное утверждение
Возьмём теперь какие-нибудь две точки [math]a<b[/math] и допустим, что [math]f(a)<f(b)[/math]. Покажем, что функция [math]f[/math] будет возрастать на [math]\mathbb{R}[/math]. Для этого возьмём произвольные точки [math]x_1<x_2[/math] и рассмотрим несколько случаев. 1) [math]x_1<a,\ x_1<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(x_2)<f(b)[/math]. 2) [math]x_1<a,\ x_2=b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)=f(x_2)[/math]. 3) [math]x_1<a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(b)<f(x_2)[/math]. 4) [math]x_1=a,\ a<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(x_2)<f(b)[/math]. 5) [math]x_1=a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(b)<f(x_2)[/math]. Остальные случаи уже сами разберите, а то мне откровенно лень Может быть, их вообще не стоило бы разбирать из-за своеобразной очевидности, но мне лично это не так очевидно.Аналогично доказывается убывание при допущении [math]f(a)>f(b)[/math]. |
|
| Автор: | alexeyderihle [ 29 мар 2013, 15:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на непрерывность. |
Human Спасибо большое за столь подробное решение, помогли очень! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|