Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Функциональное уравнение для непрерывной функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22651
Страница 1 из 1

Автор:  Human [ 16 мар 2013, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Функциональное уравнение для непрерывной функции

Найти все значения [math]a[/math], при каждом из которых существует отличная от константы непрерывная на всей вещественной оси функция [math]f(x)[/math], удовлетворяющая на оси уравнению

[math]f(x^2+a)=f(x)[/math]

У меня есть довольно нудное и длинное решение, основанное на исследовании сходимости рекуррентных последовательностей [math]x_{n+1}=x^2_n+a[/math] и [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-a}[/math]. Может, есть что попроще?

▼ Решение
Пусть [math]a>\frac14[/math]. Рассмотрим последовательность [math]x_{n+1}=x^2_n+a,\ x_1=0[/math]. Заметим, что

[math]x_{n+1}-x_n=x^2_n-x_n+a=\left(x_n-\frac12\right)^2+\left(a-\frac14\right)\geqslant a-\frac14>0[/math]

то есть последовательность строго возрастает и, кроме того, [math]\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty[/math], поскольку

[math]x_{n+1}\geqslant a-\frac14+x_n\geqslant\ldots\geqslant(n+1)\left(a-\frac14\right)\to+\infty[/math]

Рассмотрим теперь при каждом [math]n[/math] полуинтервалы вида [math][x_n;x_{n+1})[/math]. Согласно показанному выше, они полностью покрывают луч [math][0;+\infty)[/math] и, кроме того, отображение

[math]g\colon x\mapsto x^2+a[/math]

определяет взаимно-однозначное соответствие между соседними двумя интервалами. Это значит, что значения функции [math]f[/math] на луче [math][0;+\infty)[/math] полностью и однозначно задаются её значениями на полуинтервале [math][0;a)[/math], а в силу чётности функции [math]f[/math]

([math]f(x)=f(x^2+a)=f((-x)^2+a)=f(-x)[/math])

этими же значениями функция [math]f[/math] определяется и на всей оси. С другой стороны, значения [math]f[/math] на полуинтервале [math][0;a)[/math] можно определять произвольным образом, поскольку не существует такого [math]x_0[/math], что [math]x_0^2+a\in[0;a)[/math]. В частности, можно задать на полуинтервале [math][0;a)[/math] отличную от константы непрерывную функцию так, что [math]\lim_{x\to a-}f(x)=f(0)[/math], и продолжить её на всю ось с помощью заданного функционального равенства, и тогда полученная функция будет непрерывной на всей вещественной оси. Итак, при [math]a>\frac14[/math] требуемая функция существует.

Пусть теперь [math]a=\frac14[/math]. Рассмотрим последовательность [math]x_{n+1}=x^2_n+\frac14[/math] и покажем, что при [math]0\leqslant x_1\leqslant\frac12[/math] эта последовательность сходится к [math]\frac12[/math]. Действительно, по индукции доказывается, что

[math]x_{n+1}=x^2_n+\frac14\leqslant\frac14+\frac14=\frac12[/math]

и

[math]x_{n+1}-x_n=\left(x_n-\frac12\right)^2\geqslant0[/math]

то есть последовательность ограниченна сверху и возрастает, значит она сходится. Если предел равен [math]c[/math], то

[math]c=c^2+\frac14[/math]

откуда [math]c=\frac12[/math]. Тогда в силу непрерывности [math]f[/math] при любом [math]x_1\in\left[0;\frac12\right][/math] имеем

[math]f(x_1)=f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)=f\left(\frac12\right)[/math]

Аналогично можно показать, что при [math]x_1>\frac12[/math] последовательность [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-\frac14}[/math] сходится к [math]\frac12[/math], и значит при [math]x_1>\frac12[/math] имеем [math]f(x_1)=f\left(\frac12\right)[/math]. Поэтому функция [math]f[/math] в силу чётности есть тождественная константа на всей оси, что противоречит условию.

Пусть [math]a<\frac14[/math]. Не буду подробно описывать доказательство, выделю лишь основные результаты:

1. Последовательность [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-a}[/math] при [math]x_1\geqslant\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]x_1\geqslant\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство

[math]f(x_1)=f\left(\frac{1+\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]

2. (если [math]a<0[/math], то этот случай не рассматривается) Последовательность [math]x_{n+1}=x_n^2+a[/math] при [math]0\leqslant x_1\leqslant\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]0\leqslant x_1\leqslant\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство

[math]f(x_1)=f\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]

3. (если [math]a<0[/math], то этот случай не рассматривается) Последовательность [math]x_{n+1}=x_n^2+a[/math] при [math]\frac{1-\sqrt{1-4a}}2<x_1<\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]x_1\leqslant\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство

[math]f(x_1)=f\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]

4. Последовательность [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-a}[/math] при [math]\max\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2;0\right)<x_1<\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]\max\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2;0\right)<x_1<\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство

[math]f(x_1)=f\left(\frac{1+\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]

В итоге функция [math]f[/math] есть константа, что снова противоречит условию.

Ответ: [math]a>\frac14[/math].

Ответ: [math]a>\frac14[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/