Найти все значения
[math]a[/math], при каждом из которых существует отличная от константы непрерывная на всей вещественной оси функция
[math]f(x)[/math], удовлетворяющая на оси уравнению
[math]f(x^2+a)=f(x)[/math]У меня есть довольно нудное и длинное решение, основанное на исследовании сходимости рекуррентных последовательностей
[math]x_{n+1}=x^2_n+a[/math] и
[math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-a}[/math]. Может, есть что попроще?
▼ Решение
Пусть [math]a>\frac14[/math]. Рассмотрим последовательность [math]x_{n+1}=x^2_n+a,\ x_1=0[/math]. Заметим, что
[math]x_{n+1}-x_n=x^2_n-x_n+a=\left(x_n-\frac12\right)^2+\left(a-\frac14\right)\geqslant a-\frac14>0[/math]
то есть последовательность строго возрастает и, кроме того, [math]\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty[/math], поскольку
[math]x_{n+1}\geqslant a-\frac14+x_n\geqslant\ldots\geqslant(n+1)\left(a-\frac14\right)\to+\infty[/math]
Рассмотрим теперь при каждом [math]n[/math] полуинтервалы вида [math][x_n;x_{n+1})[/math]. Согласно показанному выше, они полностью покрывают луч [math][0;+\infty)[/math] и, кроме того, отображение
[math]g\colon x\mapsto x^2+a[/math]
определяет взаимно-однозначное соответствие между соседними двумя интервалами. Это значит, что значения функции [math]f[/math] на луче [math][0;+\infty)[/math] полностью и однозначно задаются её значениями на полуинтервале [math][0;a)[/math], а в силу чётности функции [math]f[/math]
([math]f(x)=f(x^2+a)=f((-x)^2+a)=f(-x)[/math])
этими же значениями функция [math]f[/math] определяется и на всей оси. С другой стороны, значения [math]f[/math] на полуинтервале [math][0;a)[/math] можно определять произвольным образом, поскольку не существует такого [math]x_0[/math], что [math]x_0^2+a\in[0;a)[/math]. В частности, можно задать на полуинтервале [math][0;a)[/math] отличную от константы непрерывную функцию так, что [math]\lim_{x\to a-}f(x)=f(0)[/math], и продолжить её на всю ось с помощью заданного функционального равенства, и тогда полученная функция будет непрерывной на всей вещественной оси. Итак, при [math]a>\frac14[/math] требуемая функция существует.
Пусть теперь [math]a=\frac14[/math]. Рассмотрим последовательность [math]x_{n+1}=x^2_n+\frac14[/math] и покажем, что при [math]0\leqslant x_1\leqslant\frac12[/math] эта последовательность сходится к [math]\frac12[/math]. Действительно, по индукции доказывается, что
[math]x_{n+1}=x^2_n+\frac14\leqslant\frac14+\frac14=\frac12[/math]
и
[math]x_{n+1}-x_n=\left(x_n-\frac12\right)^2\geqslant0[/math]
то есть последовательность ограниченна сверху и возрастает, значит она сходится. Если предел равен [math]c[/math], то
[math]c=c^2+\frac14[/math]
откуда [math]c=\frac12[/math]. Тогда в силу непрерывности [math]f[/math] при любом [math]x_1\in\left[0;\frac12\right][/math] имеем
[math]f(x_1)=f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)=f\left(\frac12\right)[/math]
Аналогично можно показать, что при [math]x_1>\frac12[/math] последовательность [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-\frac14}[/math] сходится к [math]\frac12[/math], и значит при [math]x_1>\frac12[/math] имеем [math]f(x_1)=f\left(\frac12\right)[/math]. Поэтому функция [math]f[/math] в силу чётности есть тождественная константа на всей оси, что противоречит условию.
Пусть [math]a<\frac14[/math]. Не буду подробно описывать доказательство, выделю лишь основные результаты:
1. Последовательность [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-a}[/math] при [math]x_1\geqslant\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]x_1\geqslant\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство
[math]f(x_1)=f\left(\frac{1+\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]
2. (если [math]a<0[/math], то этот случай не рассматривается) Последовательность [math]x_{n+1}=x_n^2+a[/math] при [math]0\leqslant x_1\leqslant\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]0\leqslant x_1\leqslant\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство
[math]f(x_1)=f\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]
3. (если [math]a<0[/math], то этот случай не рассматривается) Последовательность [math]x_{n+1}=x_n^2+a[/math] при [math]\frac{1-\sqrt{1-4a}}2<x_1<\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]x_1\leqslant\frac{1-\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство
[math]f(x_1)=f\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]
4. Последовательность [math]x_{n+1}=\sqrt{x_n-a}[/math] при [math]\max\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2;0\right)<x_1<\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] сходится к [math]\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math]. Отсюда следует, что при [math]\max\left(\frac{1-\sqrt{1-4a}}2;0\right)<x_1<\frac{1+\sqrt{1-4a}}2[/math] выполнено равенство
[math]f(x_1)=f\left(\frac{1+\sqrt{1-4a}}2\right)[/math]
В итоге функция [math]f[/math] есть константа, что снова противоречит условию.
Ответ: [math]a>\frac14[/math].
Ответ:
[math]a>\frac14[/math].