Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

График парам. функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22512
Страница 1 из 1

Автор:  delmel [ 10 мар 2013, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  График парам. функции

Функция y(x) задана параметрически; построить её график

[math]\begin{cases}x = 3 - \dfrac{t}{1+t^2},\\y = - \dfrac{1}{3} - 3t^3 + 3t.\end{cases}[/math]

Обычно выражают t через x и подставляют в y, или наоборот... а как быть тут?
И, да, даже если как-то невероятным образом можно это сделать (выразить), то всё-таки желательно более-менее аналитическое решение (~построение); т.е. не простой подстановкой.

Функции x(t) и y(t) проанализировать и построить-то можно... не проблема. Но как построить y(x)?

Автор:  Human [ 10 мар 2013, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

В первом приближении так: найдите критические точки функций [math]x(t)[/math] и [math]y(t)[/math]. Между такими соседними двумя точками обе функции будут монотонны, следовательно, будет монотонна функция [math]y(x)[/math], причём по типу монотонности тех двух функций определяется тип монотонности функции [math]y(x)[/math].

Во втором приближении, если хотите ещё и выпуклость исследовать, то нужно искать вторую производную в параметрическом виде.

Автор:  delmel [ 14 мар 2013, 14:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

Human писал(а):
вторую производную в параметрическом виде

Не могли бы Вы объяснить поподробнее, что это значит?

И ещё один момент... Вы говорили про приближения (первое и второе). Может, мне немного не хватает знаний по этому типу задач, но как здесь построение этого графика связано с приближениями? Какова их роль тут и как выполнять их?

Автор:  Human [ 14 мар 2013, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

delmel писал(а):
Human писал(а):
вторую производную в параметрическом виде

Не могли бы Вы объяснить поподробнее, что это значит?


[math]y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}=\frac{y''_{tt}x'_t-y'_tx''_{tt}}{x'_t^3}[/math]

delmel писал(а):
И ещё один момент... Вы говорили про приближения (первое и второе). Может, мне немного не хватает знаний по этому типу задач, но как здесь построение этого графика связано с приближениями? Какова их роль тут и как выполнять их?


Не обращайте внимания, это просто спонтанные слова :) Просто иногда для построения графиков достаточно лишь знать тип монотонности функции, а иногда приходится ещё и выпуклость исследовать. Поэтому я чисто формально и говорю про "первое и второе приближения".

Автор:  delmel [ 24 мар 2013, 14:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

Human писал(а):
[math]{y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}=\frac{y''_{tt}x'_t-y'_tx''_{tt}}{x'_t^3}}[/math]

Вы, наверное, опечатались? В знаменателе по правилам дифференцирования вроде должен быть квадрат, а не куб...

Human писал(а):
В первом приближении так: найдите критические точки функций [math]{x(t)}[/math] и [math]{y(t)}[/math]. Между такими соседними двумя точками обе функции будут монотонны, следовательно, будет монотонна функция [math]{y(x)}[/math], причём по типу монотонности тех двух функций определяется тип монотонности функции [math]{y(x)}[/math].


Допустим, мне всё известно про функции [math]{x(t)}[/math] и [math]{y(t)}[/math] – вторые производные, промежутки монотонности, экстремумы и т.д. Не могли бы Вы поподробнее, другими словами, объяснить, как, используя данные по этим функциям, строить параметрический график? Я просто не понял, между какими конкретно "такими соседними двумя точками".

 
P.S.

[math]{x(t)}[/math]: wolframalpha
первый экстремум (max) в [math]{t = -1}[/math], [math]{x(-1)} = \frac{7}{2}[/math]
второй экстремум (min) в [math]{t = 1}[/math], [math]{x(1)} = \frac{5}{2}[/math]

[math]{y(t)}[/math]: wolframalpha
[math]\max = \frac{2}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{3}\;\;at\;\;t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}[/math]
[math]\min = - \frac{2}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{3}\;\;at\;\;t = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\[/math]

Автор:  Human [ 24 мар 2013, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

delmel писал(а):
Human писал(а):
[math]{y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}=\frac{y''_{tt}x'_t-y'_tx''_{tt}}{x'_t^3}}[/math]

Вы, наверное, опечатались? В знаменателе по правилам дифференцирования вроде должен быть квадрат, а не куб...

Нет, всё верно.

[math]\left(y'_x\right)'_t=\left(\frac{y'_t}{x'_t}\right)'_t=\frac{y''_{tt}x'_t-y'_tx''_{tt}}{x'_t^2}[/math]
delmel писал(а):
Допустим, мне всё известно про функции [math]{x(t)}[/math] и [math]{y(t)}[/math] – вторые производные, промежутки монотонности, экстремумы и т.д. Не могли бы Вы поподробнее, другими словами, объяснить, как, используя данные по этим функциям, строить параметрический график? Я просто не понял, между какими конкретно "такими соседними двумя точками".


Наносите все критические точки (параметр [math]t[/math]) обеих функций на одну общую ось. У Вас, например, таких точек 4: [math]\pm1,\pm\frac1{\sqrt3}[/math]. Рассмотрим промежуток [math]t\in(1;+\infty)[/math]. На нём функция [math]x(t)[/math] возрастает от [math]2,5[/math] до [math]3[/math], а функция [math]y(t)[/math] убывает от [math]-\frac13[/math] до [math]-\infty[/math]. Значит функция [math]y(x)[/math] на промежутке [math](2,5;3)[/math] убывает от [math]-\frac13[/math] до [math]-\infty[/math]. В частности получается вертикальная асимптота [math]x=3[/math]. Выпуклость исследуете по второй производной.

И такой анализ проводите по всем промежуткам, на которые разбивают ось критические точки.

Автор:  Avgust [ 25 мар 2013, 02:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

Мне удалось аналитически все получить. Корни тоже нашел в радикалах, но они настолько громоздкие, что вынужден на графике их дать с приближением до трех знаков после запятой.

Изображение

Вольфрам со мной солидарен: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %5E3%2B3*t
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 3D-4..4%29

Автор:  Avgust [ 25 мар 2013, 10:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

Непосредственное вычисление x и y по точкам (изменяя t через 0.2) :

Изображение

Еще чаще меняю t - через 0.05:

Изображение

Из исследований ясно одно: экстремумы чуть отличаются от x=3.5 и x=2.5

Сделал так (пишу это для себя). Составил прогу в Yabasic

open #2,"xy.txt","w"
for i=-40 to 40
t=i/20
x=3-t/(1+t^2)
y=-1/3-3*t^3+3*t
print #2,"[";:print #2,x using "##.##";
print #2,",";:print #2,y using "#####.##";
print #2,"],";
next i

Полученный текстовой файл загрузил в Maple

restart; with(plots): xy := [[3.40, 17.67], [3.41, 16.06], [3.41, 14.54], [3.42, 13.11], [3.42, 11.76], [3.43, 10.49], [3.44, 9.31], [3.44, 8.19], [3.45, 7.15], [3.46, 6.19], [3.46, 5.29], [3.47, 4.46], [3.47, 3.70], [3.48, 3.00], [3.48, 2.36], [3.49, 1.78], [3.49, 1.25], [3.50, .78], [3.50, .36], [3.50, -0.1e-1], [3.50, -.33], [3.50, -.61], [3.50, -.85], [3.49, -1.04], [3.49, -1.20], [3.48, -1.32], [3.47, -1.40], [3.46, -1.46], [3.44, -1.49], [3.42, -1.48], [3.40, -1.46], [3.37, -1.41], [3.34, -1.34], [3.31, -1.25], [3.28, -1.15], [3.24, -1.04], [3.19, -.91], [3.15, -.77], [3.10, -.63], [3.05, -.48], [3.00, -.33], [2.95, -.18], [2.90, -0.4e-1], [2.85, .11], [2.81, .24], [2.76, .37], [2.72, .49], [2.69, .59], [2.66, .67], [2.63, .74], [2.60, .79], [2.58, .82], [2.56, .82], [2.54, .79], [2.53, .74], [2.52, .65], [2.51, .53], [2.51, .37], [2.50, .18], [2.50, -0.6e-1], [2.50, -.33], [2.50, -.66], [2.50, -1.03], [2.50, -1.45], [2.51, -1.92], [2.51, -2.44], [2.52, -3.02], [2.52, -3.66], [2.53, -4.37], [2.53, -5.13], [2.54, -5.96], [2.54, -6.85], [2.55, -7.82], [2.56, -8.86], [2.56, -9.97], [2.57, -11.16], [2.58, -12.43], [2.58, -13.78], [2.59, -15.21], [2.59, -16.73], [2.60, -18.33]]; pxy := pointplot(xy, symbol = CIRCLE): display(pxy);

Зная уравнения, очень удобно анализировать два экстремума:

plot({-1/3-(3/8)*(-1+sqrt(-35-4*x^2+24*x))^3/(x-3)^3+(3/2)*(-1+sqrt(-35-4*x^2+24*x))/(x-3)}, x = 2.56 .. 2.575, y = .819 .. .8215, thickness = 2); plot({-1/3-(3/8)*(-1+sqrt(-35-4*x^2+24*x))^3/(x-3)^3+(3/2)*(-1+sqrt(-35-4*x^2+24*x))/(x-3)}, x = 3.415 .. 3.45, y = -1.49 .. -1.48, thickness = 2);

Изображение

Автор:  Avgust [ 25 мар 2013, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: График парам. функции

Точные точки экстремумов:

[math]\left (3-\frac{\sqrt{3}}{4}\, , \, -\frac 13 +\frac{2}{\sqrt{3}}\right ) \approx \bigg ( 2.5670 \, , \, 0.8214 \bigg )[/math]

[math]\left (3+\frac{\sqrt{3}}{4}\, , \, -\frac 13 -\frac{2}{\sqrt{3}}\right ) \approx \bigg ( 3.4330 \, , \, -1.4880 \bigg )[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/