| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22357 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | delmel [ 02 мар 2013, 07:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5) |
Здравствуйте. Прошу помощи в следующем примере. Приблизить функцию [math]y = - tg( - 1 + {e^{2x}})[/math] многочленом с точностью до [math]o({x^5})[/math] при [math]x \to 0[/math] Признаться честно – даже не понимаю, что нужно сделать и с чего начинать. Wolframalpha выдает [math]- 2x - 2{x^2} - 4{x^3} - \frac{{26{x^4}}}{3} - \frac{{268{x^5}}}{{15}} + O({x^6})[/math] Будьте добры, объясните, пожалуйста. |
|
| Автор: | MihailM [ 02 мар 2013, 10:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5) |
сначала экспоненту разложите до пятой степени |
|
| Автор: | delmel [ 03 мар 2013, 16:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5) |
[math]1 + 2x + 2{x^2} + \frac{{4{x^3}}}{3} + \frac{{2{x^4}}}{3} + \frac{{4{x^5}}}{{15}}[/math], и что дальше делать? Не тангенс же раскладывать? |
|
| Автор: | Human [ 03 мар 2013, 21:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5) |
delmel писал(а): Не тангенс же раскладывать? Да вот как раз надо раскладывать. Вы получили, что [math]e^{2x}=1+2x+2x^2+\frac43x^3+\frac23x^4+\frac4{15}x^5+o(x^5)=1+\alpha(x)[/math] причём [math]\alpha(x)=x(2+o(1))[/math]. Тогда [math]\operatorname{tg}(e^{2x}-1)=\operatorname{tg}\alpha(x)=\alpha(x)+\frac13\alpha^3(x)+\frac2{15}\alpha^5(x)+o(x^5)[/math] Осталось раскрыть скобки, весь лишний мусор высокого порядка загнать в [math]o(x^5)[/math] и привести подобные. |
|
| Автор: | Human [ 03 мар 2013, 22:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5) |
Возведение в степень можно ускорить, если в нужные моменты упрощать себе жизнь. Например: [math]\alpha^3(x)=8x^3\left(1+x+\frac23x^2+\frac13x^3+\frac2{15}x^4+o(x^4)\right)^3=8x^3\left(1+x+\frac23x^2+o(x^2)\right)^3=8x^3\left(1+\beta(x)\right)^3[/math] причём [math]\beta(x)=x(1+o(1))[/math]. Тогда [math]\left(1+\beta(x)\right)^3=1+3\beta(x)+3\beta^2(x)+o(x^2)=1+3\left(x+\frac23x^2+o(x^2)\right)+3(x+o(x))^2+o(x^2)=1+3x+5x^2+o(x^2)[/math] Отсюда [math]\alpha^3(x)=8x^3+24x^4+40x^5+o(x^5)[/math] С пятой степенью всё ещё проще, вот и подумайте сами. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|