Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5)
СообщениеДобавлено: 02 мар 2013, 07:59 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Прошу помощи в следующем примере.
Приблизить функцию [math]y = - tg( - 1 + {e^{2x}})[/math] многочленом с точностью до [math]o({x^5})[/math] при [math]x \to 0[/math]

Признаться честно – даже не понимаю, что нужно сделать и с чего начинать.
Wolframalpha выдает [math]- 2x - 2{x^2} - 4{x^3} - \frac{{26{x^4}}}{3} - \frac{{268{x^5}}}{{15}} + O({x^6})[/math]
Будьте добры, объясните, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5)
СообщениеДобавлено: 02 мар 2013, 10:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6803
Cпасибо сказано: 187
Спасибо получено:
1142 раз в 1070 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
сначала экспоненту разложите до пятой степени

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5)
СообщениеДобавлено: 03 мар 2013, 16:04 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]1 + 2x + 2{x^2} + \frac{{4{x^3}}}{3} + \frac{{2{x^4}}}{3} + \frac{{4{x^5}}}{{15}}[/math], и что дальше делать? Не тангенс же раскладывать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5)
СообщениеДобавлено: 03 мар 2013, 21:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
delmel писал(а):
Не тангенс же раскладывать?


Да вот как раз надо раскладывать. Вы получили, что

[math]e^{2x}=1+2x+2x^2+\frac43x^3+\frac23x^4+\frac4{15}x^5+o(x^5)=1+\alpha(x)[/math]

причём [math]\alpha(x)=x(2+o(1))[/math]. Тогда

[math]\operatorname{tg}(e^{2x}-1)=\operatorname{tg}\alpha(x)=\alpha(x)+\frac13\alpha^3(x)+\frac2{15}\alpha^5(x)+o(x^5)[/math]

Осталось раскрыть скобки, весь лишний мусор высокого порядка загнать в [math]o(x^5)[/math] и привести подобные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
delmel
 Заголовок сообщения: Re: Приближение функции многочленом с точностью до o(x^5)
СообщениеДобавлено: 03 мар 2013, 22:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возведение в степень можно ускорить, если в нужные моменты упрощать себе жизнь. Например:

[math]\alpha^3(x)=8x^3\left(1+x+\frac23x^2+\frac13x^3+\frac2{15}x^4+o(x^4)\right)^3=8x^3\left(1+x+\frac23x^2+o(x^2)\right)^3=8x^3\left(1+\beta(x)\right)^3[/math]

причём [math]\beta(x)=x(1+o(1))[/math]. Тогда

[math]\left(1+\beta(x)\right)^3=1+3\beta(x)+3\beta^2(x)+o(x^2)=1+3\left(x+\frac23x^2+o(x^2)\right)+3(x+o(x))^2+o(x^2)=1+3x+5x^2+o(x^2)[/math]

Отсюда

[math]\alpha^3(x)=8x^3+24x^4+40x^5+o(x^5)[/math]

С пятой степенью всё ещё проще, вот и подумайте сами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
delmel
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить значение функции f(x) с точностью до 0,001

в форуме Ряды

rmx01void

7

254

01 окт 2021, 10:53

Интерполяция многочленом Лагранжа

в форуме Численные методы

ZaRazza

5

499

19 янв 2016, 08:55

Вычислить интеграл с многочленом Лежандра

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Knyazhe

6

597

24 дек 2017, 19:55

Уравнение с кубическим многочленом под корнем

в форуме Алгебра

KostyaVasya

8

246

25 июл 2019, 11:34

Доказать, что функция не является многочленом

в форуме Алгебра

Andy

4

1101

22 ноя 2017, 20:20

Приближение Тейлора

в форуме Ряды

sunshine123

1

378

24 дек 2014, 16:59

Приближение функций

в форуме Численные методы

Evgeshagesha

1

375

02 ноя 2015, 10:11

Десятичное приближение

в форуме Тригонометрия

Bonaqua

3

409

08 май 2015, 15:30

Периодическое приближение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

simka

0

248

03 июн 2015, 18:06

Чебышевское приближение функций

в форуме Численные методы

pshnka

10

925

06 июн 2017, 22:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved